Для решения показательного уравнения его нужно свести к простейшему уравнению вида , откуда следует, что . Иногда такое преобразование можно провести непосредственно, в других случаях требуется предварительно сделать замену переменной.

Представим обе части равенства в виде степеней с основанием 2:

Ответ:

Поменяем порядок слагаемых:

4^x+2 + 2 ∙ 4^x = 5^x+2 + 5 ∙ 5^x,

4^x (16 + 2) = 5^x (25+5),

18 ∙ 4^x = 30 ∙ 5^x,

Ответ:

Преобразуем левую часть: 16 ∙ (2^х ∙ 3^х) = 576 и разделим обе части на 16: 6х = 36, х = 2.

Ответ: 2.

Запишем уравнение в виде: и сделаем замену: t = 2^x (t > 0). Тогда:

2t² + 16t – 40 = 0,

t² + 8t – 20 = 0,

t₁ = 2, t₂ = - 10 < 0 — посторонний корень.

Обратная замена: 2^х = 2, х = 1.

Ответ: 1.

Если записать левую часть так: то можно заметить, что основания степеней (числа 4, 10, 25) образуют геометрическую прогрессию. В этом случае можно разделить обе части равенства, например, на 25^х ( поскольку ни при каком х это выражение не равно нулю) и получить уравнение или

Замена приводит к уравнению t² + 2t – 8 = 0, t₁ = 2, t₂ = -4 < 0 — посторонний корень. Следовательно,

Ответ:

Разложим левую часть на множители: , 

Первый множитель никогда не равен нулю, поэтому ответом будут корни уравнений:

1 случай. 2х – 6 = 0, х = 3.

2 случай.

Ответ: 3; .

Заметим, что первое подмодульное выражение положительно при любом х, то есть его модуль равен подмодульному выражению. Рассмотрим две возможности для знака второго подмодульного выражения:

1 случай. Тогда

2 случай. При этом  — тождество, следовательно, любое значение x < -2 является решением уравнения.

Ответ:

При решении этого уравнения важно не забыть, что равенство будет верным не только в случае, когда показатель степени равен 0, но и тогда, когда основание степени в левой части равно 1, так как при возведении 1 в любую степень мы получим 1. Кроме того, ОДЗ определяется условием: х – 5 ≠ 0, то есть х ≠ 5.

1 случай.

2 случай.

Ответ: 4; 6;

При решении логарифмических уравнений, так же, как в случае иррациональных уравнений, возможно появление посторонних корней. Причина их появления — – расширение области определения исходного уравнения. Поэтому и проверка корней логарифмического уравнения осуществляется либо непосредственно по предварительно найденной области определения, либо по условиям её задающим (подстановкой в соответствующую систему неравенств). Заметим, что иногда удобно осуществить проверку и непосредственной подстановкой найденных корней в исходное логарифмическое уравнение. Это, конечно же, допустимо. Естественно, что при решении логарифмических уравнений возможно и следование стратегии равносильных преобразований. Далее мы рассмотрим примеры решения разного рода.

Расширение области определения при решении логарифмических уравнений связано, как правило, с двумя обстоятельствами:

а) преобразование потенцирования («отбрасывания» логарифмов, замена уравнения уравнением );

б) использование «справа налево» формул:

1)

2)

3)

4)

Область определения левой части этих формул может быть шире области определения правой их части.

Заметим, что применение этих формул «слева направо» вообще следует избегать, т.к. это может привести к сужению области определения уравнения и потере корней.

Будем представлять правую часть уравнения последовательно в виде логарифмов с основаниями 4, 2 и 3 и проводить преобразование потенцирования:

,

Проверим найденное значение непосредственной подстановкой в исходное уравнение:

Мы пришли к верному числовому равенству. Таким образом,  — единственный корень данного уравнения.

Ответ: 41.

Представим 1 как и преобразуем левую и правую части уравнения, исходя из свойств логарифмов:

Потенцируя уравнение, получаем:

Решим это рациональное уравнение:

Осуществим проверку корней. Область определения исходного уравнения задается условиями: т.е. область определения: Оба корня, очевидно, принадлежат области определения. Таким образом, корни данного уравнения

Ответ: 1,5; 10.

Пусть тогда получаем систему уравнений:

Корни первого уравнения системы: Тогда исходное уравнение равносильно совокупности: т.е.

Потенцируя полученные уравнения приходим к выводу, что х = 9 или х =  Оба этих значения являются корнями данного уравнения, поскольку его область определения задается условием х + 1 >  0, т.е. х >  -1.

Ответ: 9;

Если в уравнении содержатся логарифмы с разными основаниями, то следует привести их к одному основанию, воспользовавшись формулами перехода к новому основанию логарифма:

В данном уравнении перейдем к логарифмам по основанию 2:

Последнее уравнение равносильно системе:

Корни первого уравнения системы Таким образом, имеем совокупность уравнений: которая равносильна системе

Откуда очевидно, что  — единственный корень данного уравнения.

Заметим, что применение формул перехода к новому основанию логарифма, как правило, приводит к изменению области определения уравнения. Поэтому следует анализировать в ходе решения, как возможность появления посторонних корней, так и возможность потери корней.

Ответ: 0,5.

Прежде всего, воспользуемся известным свойством логарифма и получим одинаковое для всех логарифмов логарифмируемое выражение:

Теперь воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма, получаем:

Далее имеем:

Корни второго уравнения системы: Следовательно, решение исходного уравнения свелось к решению совокупности:

Решим первое уравнение совокупности:

Аналогично, решая второе уравнение совокупности, получаем х = 4.

Найдем, теперь область определения исходного уравнения и проведем проверку корней:

т.е.

Ясно, что оба найденных значения х удовлетворяют области определения.

Наконец, следует проанализировать возможную потерю корней. Для этого выясним, когда наши преобразования приводили к сужению области определения уравнения. После перехода к новому основанию логарифма дальнейшее решение осуществляется при условии: и Дополнительное условие не имеет отношения к исходному уравнению, поэтому х = 1 — возможный потерянный корень. Подставив значение х = 1 в исходное уравнение, убеждаемся, что это действительно корень. Таким образом, корни исходного уравнения:

Ответ: .

Применяя при решении логарифмических уравнений формулы перехода к новому основанию целесообразней переходить к новому основанию не являющемуся выражением с переменной, а равному некоторому числу. Как правило, это позволяет избежать потери корней. Каким конкретно числом должно быть новое основание логарифмов всегда можно понять, проанализировав данное уравнение.

Так в рассмотренном выше примере, подходящим новым основанием логарифмов является число 2. Это следует из того, что все входящие в уравнения основания логарифмов имеют вид: где  — целое число.

Далее, с учетом этого замечания оформим решение уравнения из примера 6 как схему равносильных переходов.

Еще раз следует отметить, что решение любого уравнения должно осуществляться не механически, а сознательно, с пониманием сущности всех преобразований, с обязательным анализом возможностей появления посторонних корней и потери корней. Если такой анализ непосредственно «вплетен» в ход решения, то наиболее действенно оформлять это решение схемой равносильных переходов. Хотя это и приводит, порой, к весьма громоздким записям. Громоздкости при записи решения уравнения в виде схемы равносильных переходов можно избежать следующим приемом: начать решение уравнения с нахождения области определения и затем при проведении решения соблюдать не «равносильность вообще», а «равносильность на области определения». Оформим решение уравнения из примера 6 с учетом этого приема.

Область определения этого уравнения (множество М):

Далее, имеем:

Оформим также в виде равносильных переходов решение уравнений из следующих примеров. Эти уравнения (весьма распространенные в заданиях ЕГЭ, группа С), содержащие логарифмы, у которых и основания, и логарифмируемые выражения — выражения с переменной.

Область определения этого уравнения (множество М):

т.е.

Далее, имеем:

Ответ: 2.

а) Решим уравнение:



Ш.

б) Решим уравнение:

Ответ: а) Ш; б) 1.

Часто трудности с решением рациональных уравнений обусловлены для абитуриентов тем, что решение, как говорится «в лоб», по алгоритму метода разложения на множители:

,

где A (x), B (x) — произвольные рациональные выражения; P (x), Q (x) — многочлены,

приводит к громоздким, «рутинным» преобразованиям или к необходимости находить корни многочленов степени большей, чем второй. А это уже не совсем «школьная» задача. При этом даже в самых очевидных случаях, абитуриенты не применяют метод введения новой переменной. А ведь введение новой переменной позволяет быстро упростить решаемое уравнение. Это мощный метод, его следует понимать и применять.

Введение новой переменной осуществляется тогда, когда решаемое уравнение представимо в виде f (g (x)) = 0. Полагая g (x) = t, мы переходим к решению системы:

Если уравнения f (t) = 0, g(x) = t₁ , g(x) = t₂,…, g (x) = t_n, где t₁, t₂,…, t_n — корни уравнения f (t) = 0 проще исходного уравнения, то метод, как говорится, сработал.

Рассмотрим различные рациональные уравнения, для решения которых весьма полезен метод введения новой переменной, но не очевидны случаи, когда исходное уравнение непосредственно имеет вид f (g(x)) = 0. Поиск удачной подстановки g (x) = t и специальная работа по приведению исходного уравнения к указанному виду, составляет главную сущностную часть решения уравнения. Решение же уравнения f (t) = 0 и совокупности уравнений g (x) = t_i — сравнительно несложная, техническая часть процесса решения уравнения.

Решение дробно-рациональных уравнений нередко сводится к решению обычных квадратных уравнений, но с учетом ограничений на допустимые значения неизвестного. В частности, из ОДЗ исключаются те значения х, при которых хотя бы один из знаменателей дробей, входящих в уравнение, обращается в 0.

Этапы решения рационального уравнения.

1. Определить ОДЗ (ни один знаменатель не может равняться нулю).

2. Найти наименьший общий знаменатель всех дробей.

3. Умножить уравнение на этот знаменатель и решить полученное целое уравнение.

4. Включить в ответ только те корни, которые входят в ОДЗ.

Решение.

Раскрыв скобки в знаменателях, получаем уравнение:

Полагая, что x² + 3х + 2 = t приходим к системе уравнений:

Решив первое уравнение системы, получаем корни t₁ = 2, t₁ = 18. Далее, из второго уравнения системы, получаем корни исходного уравнения: .

Ответ: .

Прибавим к числителю второй дроби выражение 2х - 2х, тождественно равное нулю:

Полагая , приходим к системе уравнений:

Решив первое уравнение системы, получаем корни: t₁ = -1, t₂ = 2. Из второго уравнения системы, получаем корни исходного уравнения:

Ответ:

Полагая, что , приходим к системе уравнений:

Решим первое уравнение системы, воспользовавшись формулой:

Имеем:

Решив полученное биквадратное уравнение, получаем корни t_{1, 2} = ± 1 и соответственно: x₁ = -5, x₂ = -3.

Ответ: -5; -3.

Принимая во внимание тождество , перепишем данное уравнение в виде:

Полагая, что , имеем систему уравнений:

4t² + 12t - 55 = 0,

Решив первое уравнение системы, получаем корни: .

Из второго уравнения системы получаем корни исходного уравнения: .

Ответ:

Левая часть уравнения представляет собой сумму квадратов. Для решения уравнения, удобно превратить ее в полный квадрат, добавив к обеим частям уравнения соответствующее удвоенное произведение:

Полагая, что , имеем систему уравнений:

Решив первое уравнение системы, получаем корни t₁ = -9, t₂ = 3. Далее, из второго уравнения системы, получаем корни исходного уравнения: .

Пример 21.

Решим уравнение:

Положим, что x² + х + 4 = t. Тогда заданное уравнение принимает вид:

Решив это уравнение как квадратное относительно t, получаем:

Совокупность уравнений:

дает корни исходного уравнения:

Ответ: .

Метод введения новой переменной иногда называют методом замены переменной. Это не совсем правомерно. Введение новой переменной в уравнение отнюдь не предполагает обязательное исчезновение из уравнения старой переменной.

Пусть x₀ — корень уравнения. Введем новые неизвестные u = 2 - x₀ и х = x₀ - 3. Понятно, что термин «новые переменные» в данном случае был бы применен неправильно. U и v — хотя и неизвестные, но постоянные величины, ибо х₀ — постоянная, а отнюдь не переменная величина.

Имеем систему уравнений:

Воспользовавшись формулой:

,

имеем:

Учитывая, что u + v = -1, из второго уравнения системы получаем:

Таким образом, либо uv = 1, либо uv = 0 и для нахождения u и v имеем две системы уравнений (совокупность систем):

Первая система решений не имеет.

Корни второй системы: u₁ = 0, v₁ = -1 и u₂ = -1, v₂ = 0. Отсюда либо x₀ = 2, либо x₀ = 3.

Итак, корни исходного уравнения: x₁ = 2, x₂ = 3.

Ответ: 2; 3.

Весьма распространенный прием решения иррациональных уравнений и неравенств — возведение в квадрат. Тем не менее, советуем вам пользоваться им как можно реже, ибо он обладает существенными недостатками: во-первых, возводя в квадрат обе части уравнения, вы расширяете область допустимых значений неизвестного, что может привести к появлению посторонних корней; во-вторых, часто в результате этой операции получается уравнение с громоздкими коэффициентами, работать с которыми затруднительно (особенно если на экзамене не разрешается пользоваться калькулятором). Наконец, главный недостаток этого приема — увеличение вдвое степени уравнения. Возведя обе части в квадрат, вы можете избавиться от иррациональностей, но получить рациональное уравнение степени выше второй, способы решения которого в общем виде вам неизвестны или вообще не существуют.

Если возводить в квадрат все-таки приходится, нужно внимательно следить за тем, чтобы не включить в ответ посторонние корни. В частности, если уравнение имеет вид то для корней должно выполняться условие (при этом , и условие отдельно ставить не требуется). Еще один способ обнаружить посторонние корни — проверка всех найденных корней подстановкой их в первоначальное уравнение.

Корни должны удовлетворять условию 4х - 8 ≥ 0, то есть х ≥ 2. Возведем обе части в квадрат:

 — посторонний корень.

Ответ: х = 3.

Поскольку неизвестное входит в подкоренное выражение и в рациональную часть уравнения в виде одной и той же комбинации (x² - 7х), можно сделать замену: , тогда x² - 7х = t² - 19, и t определяется из уравнения: 2t + t² - 19 + 4 = 0, t² + 2t - 15 = 0, t₁ = 3, t₂ = - 5 < 0 — не соответствует условию на знак t.

Обратная замена:

Ответ: х = 2, х = 5.

Замена переменной очень полезна при решении иррациональных уравнений. Часто с ее помощью удается избежать необходимости возведения в квадрат.

Подкоренные выражения — взаимно обратные дроби, поэтому замена приводит к уравнению:

Случай 1.

Случай 2.

Ответ:

Следует обратить внимание на то, что в некоторых заданиях нет необходимости в проверке корней или задании каких-либо ограничений: значения х определяются из условия, что корень принимает некоторое неотрицательное значение.

Перепишем уравнение в виде: и возведем обе части в квадрат, не задавая никаких ограничений: проще будет в конце работы проверить получившиеся корни:

Еще раз возведем в квадрат обе части полученного равенства:

.

Проверка.

 — корень уравнения.

 —  — не корень уравнения.

Ответ: х = 16.

В этом уравнении замена поможет ограничиться только одним возведением в квадрат:

Ответ: .

ОДЗ задается условием: . Запишем уравнение в виде:

 — посторонний корень.

,

(корень первого уравнения х = 0 не удовлетворяет второму условию). Итак, единственный корень исходного уравнения — х = 11.

Ответ: х = 11.

Рассмотренные совокупности решаются просто, но в более сложных случаях обязательное соблюдение условия равносильности преобразований может привести к серьезным техническим трудностям, сделать решение слишком ветвящимся и громоздким. Поэтому, не будем строго запрещать применение любых неравносильных преобразований. Все ли они одинаково опасны? Понятно, что более опасны неравносильные преобразования, приводящие к потере корней. В большинстве случаев потерянные корни отыскать весьма трудно (заметим также, что малоопытный решающий, а абитуриент часто именно таков, может вовсе не заметить факта потери корня, и не будет пытаться его отыскать, хотя это, может быть, и получилось бы).

Итак, на не равносильные преобразования, приводящие к потере корней, мы накладываем строгий и категорический запрет. При решении уравнений, таким образом, мы не будем применять деление обеих частей уравнения на выражение, обращающееся в ноль в области определения уравнения, и не будем применять преобразования, приводящие к сужению области определения уравнения.

Что же касается, неравносильных преобразований, приводящих к появлению посторонних корней, то такие преобразования вполне допустимы. Но при этом, обязательным заключительным этапом решения должна быть проверка всех найденных в итоге корней. Заметим, что тактика проверки зависит непосредственно от класса уравнений (рациональные, иррациональные, логарифмические и т.д.), ибо в каждом случае свои причины появления посторонних корней. В этой связи, тактика проверки конечно должна быть гибкой, но можно пользоваться и универсальным приемом: подстановка всех корней итогового уравнения в исходное с последующим вычислением или «прикидкой».

При решении этого уравнения будем придерживаться стратегии, допускающей неравносильные преобразования при обязательной проверке корней. Решая уравнения вида , следует перед возведением в квадрат уединить один из корней, перенеся его в правую часть уравнения. Уединить можно любой из корней, и в большинстве случаев, все равно какой. Но иногда уединение определенного корня приводит к более простому решению, чем уединение других. Поэтому всегда следует анализировать ситуацию в указанном аспекте.

В нашем уравнение сумма коэффициентов при х в первом и третьем подкоренных выражениях равна коэффициенту при х во втором подкоренном выражении. Поэтому уединить целесообразно именно корень . Полученное после возведения в квадрат уравнение будет содержать х только под корнем. Если бы мы уединяли любой из других корней, то после возведения в квадрат получали бы уравнения, содержащие х и под корнем, и вне корня, что менее удобно для последующего решения.

Итак, имеем:

При решении иррационального уравнения мы осуществляем так называемую рационализацию уравнения, т.е. избавляемся от радикалов (корней). Но, избавляясь от корней, мы избавляемся и от ограничений на подкоренные выражения: Иными словами, происходит расширение области определения уравнения. Это причина появления посторонних корней. Поэтому все корни итогового уравнения, полученного в ходе решение, следует проверить на принадлежность области определения исходного уравнения. В нашем случае область определения исходного уравнения задается системой:

Решив эту систему, получаем область определения уравнения:

Очевидно, что  — посторонний корень, появившийся в процессе решения из-за применения неравносильных преобразований, приведших к расширению области определения уравнения, а x₂ = 0 — принадлежит области определения уравнения и является его корнем (что легко проверить непосредственной подстановкой).

Ответ: х = 0.

Но единственная ли причина появления посторонних корней при решении иррациональных уравнений с радикалами четной степени — расширение области определения исходного уравнения? Не кроется ли в возведении обеих частей уравнения в четную степень еще одна, менее очевидная, но не менее опасная в смысле ошибки, причина появления посторонних корней?

При решении этого уравнения будем придерживаться стратегии, допускающей неравносильные преобразования, т.е. возведем обе части уравнения в квадрат, решим полученное рациональное уравнение и сделаем проверку корней.

Итак,

Проверим, удовлетворяют ли эти корни исходному уравнению.

Пусть х = -1, тогда левая часть исходного уравнения равна -6. Таким образом, х = -1 — посторонний для исходного уравнения корень, появившийся в процессе решения из-за применения неравносильных преобразований. Пусть теперь, х = 7. Тогда исходное уравнение превращается в верное числовое равенство. Исходное уравнение, таким образом, имеет единственный корень х = 7.

Поступая так же, как в случае «а», получаем:

Итоговое уравнение имеет такие же корни, что и уравнение из случая «а». Проверим их подстановкой в исходное уравнение . Пусть х = -1, тогда исходное уравнение превращается в верное числовое равенство. Пусть, далее, х = 7. Тогда левая часть исходного уравнения равна -2. Таким образом, х = 7 — посторонний для исходного уравнения корень.

В процессе решения следствием уравнений «а», «б» является одно и тоже уравнение имеющее два корня: x₁ = -1 и x₂ = 7. Корень x₁ = -1 — есть корень уравнения «б», но посторонний для уравнения «а»; корень x₂ = 7 — наоборот, корень уравнения «а», посторонний для уравнения «б».

В каждом из случаев «а» и «б» корни, оказавшиеся посторонними, принадлежат области определения данного уравнения. Значит, расширение области определения исходного уравнения — не единственная причина появления посторонних корней. В чем же дело? Заметим, что и в случае «а», и в случае «б» при подстановке в исходное уравнение корень, оказывающийся посторонним, приводит к ситуации: левая и правая части уравнения равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку. Это не случайно. Уравнение является следствием не только уравнения , но и следствием уравнения . Какие следует сделать из этого выводы?

Во-первых, поскольку появление посторонних корней при решении иррациональных уравнений, содержащих радикалы четной степени может быть и не связано с областью определения исходного уравнения, то и проверка корней не может осуществляться только по области определения, или условиям ее задающим.

Во-вторых, проверка корней иррационального уравнения, должна учитывать обе причины появления посторонних корней; универсальный прием, как уже говорилось, состоит в непосредственной подстановке в исходное уравнение, но могут быть реализованы и другие подходы.

1. Сначала отсечь те корни, которые не принадлежат области определения исходного уравнения, а оставшиеся проверить непосредственной подстановкой во все уравнения левая и правая части которых возводились в квадрат в процессе решения.

2. Опять же исключить все корни, не принадлежащие области определения, а затем проанализировать все случаи возведения в квадрат обеих частей уравнения, выделить те случаи, где было нарушено условие равносильности:

   

   Далее только в эти уравнения подставить корни итогового уравнения, принадлежащие области определения исходного уравнения.

3. Если решать иррациональные уравнения, применяя только равносильные преобразования, то в каждом случае возведения в квадрат следует предусматривать условие равносильности, сформулированное выше, и изначально следует зафиксировать условия, задающие область определения исходного уравнения.

Рассмотрим схемы равносильных преобразований для иррациональных уравнений основных видов.

Заметим, что важно, конечно, не выучить наизусть эти схемы, а понять их, уметь самостоятельно составлять схемы равносильности для других случаев.

Не надо думать, что в процессе решения иррационального уравнения обязательно появляются посторонние корни. Рассмотрим пример.

Возведя обе части уравнения в квадрат, получаем 1 + 3х = x² + 2х + 1, т.е. уравнение x² – х = 0. Его корни x₁ = 0 и x₂ = 1. Подставляя каждый из найденных корней в исходное уравнение, убеждаемся, что оба они являются его корнями.

Уединим радикалы:

Возведем обе части уравнения в квадрат (дважды):

Корни последнего уравнения:

Далее следует провести проверку корней. Область определения исходного уравнения задается условиями т.е. 1 ≤ x ≤ 3. Как нетрудно проверить, полагая приближенно равным 1,7, что оба корня x₁ и x₂ принадлежат области определения исходного уравнения. Значит, если среди x₁ и x₂ есть посторонний корень, то причина его появления связана с нарушением условия равносильного возведения обеих частей уравнения в квадрат. Ясно, также, что первое из проделанных в данном решении возведений в квадрат — равносильное преобразование, поэтому если и появились посторонние корни, то при возведении в квадрат обеих частей уравнения Непосредственной подстановкой именно в это уравнение проверим наши корни x₁ и x₂.

Итак, пусть тогда:

Мы пришли к верному числовому равенству. Значит  — корень данного уравнения.

Пусть теперь

Тогда

Ясно, что левая часть уравнения отрицательна, а правая положительна. Поэтому  — посторонний корень.

Распределим радикалы следующим образом:

Возведем обе части уравнения в квадрат и приведем подобные слагаемые:

Возведем обе части полученного уравнения в квадрат, раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

Проведем проверку корней. Сразу замечаем, что корень не имеет смысла при x = -0,5. Поэтому единственный возможный корень исходного уравнения — это х = 2, удовлетворяющий всем условиям области определения. Поскольку, возводя обе части уравнения в квадрат, мы всякий раз соблюдали условие равносильности, то х = 2 — единственный корень исходного уравнения.

При решении этого уравнения покажем применение метода введения новой переменной при решении иррациональных уравнений.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

Пусть теперь , тогда уравнение можно переписать в виде:

.

Это уравнение имеет два корня: . Таким образом, следствием исходного уравнения является совокупность систем:

Решим первую систему совокупности.

Обозначим: и .

Тогда имеем:

Таким образом,

Корни этой совокупности систем:

Аналогично, решая вторую систему исходной совокупности, получаем:

.

Подкоренные выражения и представляют из себя полные квадраты:

Тогда:

Пусть , тогда уравнение можно переписать в виде:

Возведем обе части последнего уравнения в квадрат, затем воспользуемся тождеством и формулой разности квадратов:

Если у = 0, то , т.е. х = 1. Если у = 2, то , т.е. х = 5. Если у = 1, то , т.е. х = 2. Если у = -1, то уравнение не имеет корней.

Непосредственной подстановкой в исходное уравнение всех найденных значений х, приходим к выводу, что только х = 5 является корнем данного уравнения.

Рассмотрим далее примеры решения иррациональных уравнений с корнями степени, большей, чем вторая.

Перераспределим радикалы

Возведем обе части уравнения в третью степень:

Выражение в скобках, очевидно, есть — , т.е.:

Снова возведем обе части уравнения в третью степень:

Далее имеем:

В процессе решения, был применен прием, связанный с заменой суммы на выражение , что могло привести к появлению посторонних корней (такой вывод позволяет сделать определенная искусственность этого приема). Поэтому проверим все найденные корни непосредственной подстановкой в исходное уравнение.

Если х = -2, то исходное уравнение обращается в верное числовое равенство.

Для подстановки значений возьмем приближенное значение: Тогда и .

Если х = -0,4, то:

Ясно, что это числовое равенство неверно, поскольку все три значения корней положительны, а сумма положительных чисел не может быть равна 0.

Если х = -2,6, то:

Ясно, что эта сумма не может быть равна 0, т.к. уже Заметим, что довольно часто, «прикидка» при проверки корней позволяет сделать необходимый вывод на определенном промежуточном этапе вычислений, и доводить их до явного числового равенства или неравенства совсем не обязательно (это снова к вопросу о гибкой тактике проверки корней).

Таким образом, х = -2 — единственный корень данного уравнения.

Ответ: -2.

Комментарий. Запишем в общем виде прием решения, рассмотренный в этом примере:

По аналогичной схеме решаются уравнения вида .

Большие трудности у абитуриентов вызывают иррациональные уравнения, содержащие радикалы разных степеней. Рассмотрим примеры.

а) Решим уравнение: .

Это уравнение легко рационализируется возведением обеих его частей в шестую степень:



И далее:



Подстановкой выясняем, что только х = 2 является корнем данного уравнения.

б) Решим уравнение:

В этом случае возведение обеих частей уравнения в шестую степень уже нецелесообразно. Проведем замену переменных.

Пусть и тогда a + b = 1. Возведем в куб первое уравнение системы , и в квадрат второе уравнение этой системы; затем почленно сложим полученные уравнения. В итоге получаем: a³ + b² = 1.

Таким образом, имеем систему уравнений:



Решая ее, получаем: т.е. совокупность систем:



В итоге Непосредственная подстановка в исходное уравнение показывает, что среди этих корней нет посторонних.

Комментарий. Заметим, что описанный в случае «б» прием является достаточно распространенным. Рассмотрим его применение при решении уравнений с радикалами высших степеней.

Пусть Тогда . Возведем в четвертую степень обе части каждого из уравнений системы , и почленно сложим полученные уравнения. В итоге получаем:

Таким образом, имеем систему уравнений:

Это симметрическая система уравнений, стандартно решающаяся заменой переменных a + b = y и ab = z.

Имеем корни: . Отсюда x₁ = 2, x₂ = 6. Проверка показывает, что это действительно корни данного уравнения.

Ответ: x₁ = 2, x₂ = 6.

Аналогично предыдущему примеру получаем симметрическую систему относительно переменных и :

Корни этой системы легко угадываются: Далее получаем корни исходного уравнения: x₁ = 1 и x₂ = 32.

Ответ: x₁ = 1.

Устойчивым является заблуждение абитуриентов о том, что при решении тригонометрических уравнений не нужна проверка. Это — далеко не всегда.

При решении тригонометрических уравнений проверка найденных решений необходима, если:

1) в процессе решения применялись алгебраические преобразования, которые могли привести к расширению области определения уравнения (например, сокращение дробей);

2) в процессе решения применялись тригонометрические преобразования, которые могли привести к расширению области определения уравнения (речь идет о применении тригонометрических формул, левая и правая части которых имеют различные области определения, например:

;

3) в процессе решения применялось возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень.

Каждая из указанных причин может привести к появлению посторонних корней. Заметим, что применение формул из п. 2 «справа налево», напротив, может привести к потере корней, в силу сужения области определения.

Решение тригонометрических уравнений в большинстве случаев проводится либо с помощью замены переменной, либо разложения на множители, но и тот, и другой способ применяется в разных вариантах в зависимости от вида конкретного уравнения. Поэтому в данном разделе вам предлагается более подробная классификация типов тригонометрических уравнений и методов их решения.

Обе части уравнения легко представляются как выражение, зависящее только от tgx:

.

Далее, заменой tgx = y, тригонометрическое уравнение рационализуется:

.

В итоге , т.е. и .

Однако можно заметить, что значения также удовлетворяют исходному уравнению. Это потерянные корни. В чем причина?! В основе преобразований формулы, сужающие область определения: .

(В нашем случае и ).

Еще раз настойчиво предостерегаем от применения приемов решения уравнений, ведущих к сужению области определения и возможной потере корней.

Перераспределим компоненты уравнения:

Далее, в левой части воспользуемся формулой:

Имеем: т.е.

Теперь представим sin x как синус двойного аргумента:

Перенесем все компоненты уравнения в одну часть и вынесем общий множитель за скобки:

Вновь воспользуемся формулой разности синусов:

Последнее уравнение равносильно совокупности:

Таким образом, уравнение имеет два семейства корней: и , если и бесконечно много корней: если

Ответ: если , то .

если , то .

Рассмотрим также примеры решения комбинированных уравнений, т.е. уравнений, в которых над переменной, в той или иной комбинации производятся иррациональные, показательно-степенные, логарифмические и тригонометрические операции. Такого рода задания вызывают у абитуриентов определенные трудности. В основе этих трудностей, как правило, лежит некая негативная психологическая установка. Абитуриент как бы говорит себе: «Таких уравнений я в школе не решал; что-то слишком много всего накручено; это мне не по силам». В связи с этим дадим два совета.

Совет первый. По внешнему виду задания нельзя судить о его простоте или трудности; трудность — это характеристика не задания, а действенности Ваших знаний и умений. Начинайте решать, пробуйте, пытайтесь, несмотря на то, что задание кажется вам «страшным» и недоступным.

Совет второй. Решайте комбинированное уравнение как бы по действиям, отграничивая иррациональную часть решения от логарифмической, логарифмическую от тригонометрической и т.п. Осуществить это можно введением новых переменных. В конце решения осуществляйте тем или иным образом проверку корней.

Пусть тогда . Далее решаем уже не комбинированное, а тригонометрическое уравнение. Воспользуемся формулой синуса двойного аргумента:

«Тригонометрическая часть» решения завершена; далее необходимо решить показательное уравнение с параметром n:

Прежде всего, выясним, при всех ли n у данного уравнения существуют корни. Ясно, что, поскольку левая часть уравнения, как сумма степеней тройки, всегда положительна, то условие существования корней уравнения:

Решим это неравенство. Если n > > 0, то Очевидно, что полученная система несовместна. Если n ≥ 0, то

Система равносильна неравенству n ≥ 0.

Таким образом, учитывая, что , получаем вывод: корни у данного уравнения существуют при значениях параметра n: n = 0, 1, 2, 3, …. Именно при этом условии решаем далее показательное уравнение.

Преобразуем левую часть уравнения по свойствам степени:

Тогда имеем:

Таким образом, Это «семейство» логарифмов и составляет множество корней исходного комбинированного (показательно — тригонометрического) уравнения.

Ответ:

Прежде всего, укажем область определения уравнения. Она задается условиями:

т.е. системой

Пусть теперь . Тогда, вместо комбинированного, имеем логарифмическое уравнение с двумя переменными а и b: это уравнение преобразуется в уравнение: Далее, если положить, что то имеем простое рациональное уравнение: Его единственный корень — y = 1. Значит, т.е.

Отсюда b = a, т.е. Корнями этого тригонометрического уравнения является семейство: Нетрудно видеть, что оно удовлетворяет области определения исходного уравнения, а значит, и составляет множество его корней.

Ответ:

Заметим, что решение всякого уравнения следует начинать с пристального, внимательного взгляда, призванного увидеть в уравнении, неравенстве и т.п. что-нибудь интересное, особенное, какую-нибудь «изюминку», позволяющую применить при решении некий нестандартный прием. Эта «изюминка» не всегда есть, но проглядеть ее обидно. В данном уравнении маленькая «изюминка» есть: если в правой части уравнения мы воспользуемся (к сожалению часто забытым абитуриентами) свойством логарифма: то сразу, как говорится, «убьем двух зайцев»: и избавимся от радикала, и перейдем к одному основанию логарифма.

Итак, если r = 2, то Далее, имеем тригонометрическое уравнение Воспользуемся формулой синуса двойного аргумента:

Решением первого уравнения совокупности является семейство: решением второго:

Необходимо провести проверку найденных корней. Для этого выпишем условия, задающие область определения исходного уравнения:

Ясно, что первое из найденных семейств — семейство посторонних корней, т.к. нарушено условие , а из второго семейства посторонними корнями являются корни вида: (т.к., в этом случае, хотя но ).

Таким образом, корни исходного комбинированного уравнения:

.

Ответ: .

Внесем множитель два в левой части уравнения под логарифм в качестве показателя степени: и перейдем к основанию логарифма пять в левой части уравнения:

«Отбрасывая» логарифмы, получаем: и далее, учитывая, что и переходя к разности дробей в левой части уравнения:

Это квадратное уравнение относительно ctg x, корни которого 1 и -5. Т.е. имеем совокупность:

Решением первого уравнения совокупности является семейство: решением второго: Здесь применено тождество:

Далее необходимо провести проверку корней. В качестве способа проверки в данном случае, изберем непосредственную подстановку в исходное уравнение. При этом ясно, что речь идет о подстановке в исходное уравнение лишь одного значения принадлежащего данному семейству. Этого достаточно. Удобнее всего, взять значения n = 0 и х = -1. Но можно поступить еще проще: в равносильности совокупностей

,

мы не сомневаемся, а поэтому в исходное уравнение можно подставлять непосредственно каждое из получившихся значений ctg x.

В каждом случае изберем более удобный из описанных подходов.

Пусть и n = 0, т.е. Тогда имеем:

Таким образом, семейство: входит во множество корней исходного уравнения.

Пусть теперь ctg x = -5 (здесь реализуем второй подход, ибо осуществлять непосредственную подстановку x = -arcctg 5 неудобно). Тогда, поскольку и . Далее, т.к. ctg x < 0, то sin x и cos x должны быть разных знаков; имеем: и или и . В первом случае во втором случае

После подстановки в исходное уравнение имеем:

Таким образом, семейство также входит во множество корней исходного уравнения.

Ответ: .

По определению арифметического квадратного корня перейдем к равносильной системе уравнений.

Ответ: .

На первом этапе решения уравнения выясним область допустимых значений и выполним тождественные преобразования:

Решением уравнения является:

.

Ответ: .

Данный прием решения тригонометрического уравнения принято называть методом разложения на множители.

Используем в процессе решения формулы понижения степени, получим:

После приведения подобных слагаемых получаем уравнение, сводящееся к квадратному уравнению.

Данное уравнение приводится к квадратному с помощью замены переменной.

Пусть sin 2x = y, тогда:

или

Ответ:

Решение большого количества тригонометрических уравнений сводится к решению квадратных уравнений.

или

Ответ:

Данный пример иллюстрирует возможность решения тригонометрических уравнений методом преобразования суммы тригонометрических функций в произведение.

Во-первых, найдем область определения функции, выходящей в данной тригонометрическое уравнение:

Таким образом, областью определения данного уравнения является:

Во-вторых, решим данное уравнение. Для этого выполним следующие тождественные преобразования:

Ответ: .

Решение тригонометрических уравнений в ряде случаев проводится преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму.

Используем в процессе решения формулы понижения степени:

Выполнив замену переменных, получим:

или

Ответ: .

Решение тригонометрических уравнений с применением формул понижения степени.

.

Используем далее основное тригонометрическое тождество:

Если , то и , что противоречит основному тригонометрическому тождеству, значит .

Разделим обе части на , получим:

Ответ: .

Данный пример показывает возможность решения тригонометрических уравнений как однородных уравнений. Однородное уравнение — это уравнение, в котором каждое слагаемое имеет одну и ту же степень:

,

где  — действительные числа, n — показатель однородности.

Т.к. , следовательно, корни есть.

Разделим обе части уравнения на , получим:

.

Т.к. и , то существует такой угол ?, что , а , тогда получим:

Ответ:

Рассмотренный прием решения тригонометрических уравнений называется методом введения вспомогательного аргумента.

Данный метод основан на следующем. Рассмотрим уравнение особого вида:

.

Случай 1. Если с = 0, то уравнение однородное.

Случай 2. Если с ≠ 0 и (то есть хотя бы одно из чисел a или b не равно 0), то разделим обе части уравнения на , получим:

.

Т.к. и , то существует такой угол ?, что , тогда:

а) если , т.е. , то корней нет;

б) если , т.е. , тогда:

Проверим выполнение неравенства: .

Очевидно, что , следовательно, корней уравнение не имеет.

Ответ: .

Выполним преобразование уравнения, используя формулы «универсальная тригонометрическая подстановка»:

Получаем, что:

При переходе от уравнения (1) к уравнению (2), могла произойти потеря корней, значит необходимо проверить, являются ли корни уравнения корнями данного уравнения.

Проверка.

Если , тогда:

.

0 + 4 (-1) = 5 — не верно, значит, , не является корнями исходного уравнения.

Ответ:

Данный пример показывает возможность решения тригонометрических уравнений с помощью универсальной тригонометрической подстановки.

.

Пусть .

Далее возведем записанное равенство в квадрат и воспользуемся формулой «квадрат суммы»:

Получаем, что:

Разделим на cos x ≠ 0, получим:

Т.к. , при , то корней нет.

Ответ: .

Используем формулу: и сделаем замену  — посторонний корень (учитываем, что ).

Выполним обратную замену: .

Ответ:

Применим следствие из основного тождества и сделаем замену t = tg x:

Найдем подбором корень t = -1 и разложим на множители левую часть полученного уравнения: (t + 1)(4t² - t + 5) = 0. Дискриминант второго множителя отрицателен, следовательно, других корней уравнение не имеет. Обратная замена:

Ответ:

Приведенные приемы решения тригонометрических уравнений основаны на использовании основного тождества и формул для косинуса двойного угла.

Поскольку , a , уравнение можно записать в виде: . Перед нами так называемое однородное уравнение, для всех слагаемых левой части которого сумма степеней sin 3x и cos 3x одинакова.

Проверкой можно убедиться, что cos 3x ≠  0 для корней этого уравнения, поэтому можно разделить обе его части на . Сделаем замену: t = tg 3x, тогда . Обратная замена:

Ответ:

Разделим обе части уравнения на 13:

Пусть тогда , и уравнение принимает вид: или откуда

Ответ:

Решить уравнение: sin 4x + sin 3x + cos 6x + cos 7x = 0.

Преобразуем в произведение сумму синусов и сумму косинусов:

.

Теперь запишем левую часть уравнения в виде:

Это равенство возможно в двух случаях.

Случай 1:

Случай 2:

Применим формулу приведения:

.

Тогда:

Это уравнение вновь сводится к двум простейшим:

Ответ: .

Применим к левой части метод дополнительного угла:

Выберем дополнительный угол так, чтобы получить в левой части формулу для косинуса разности:

Случай 1: .

Случай 2:

Ответ:

Решение примера основано на формуле преобразования суммы тригонометрических функций в произведение.

Решить уравнение: cos 9x + sin 4x sin 5x = 0.

Преобразуем произведение синусов в сумму:

Тогда

Случай 1:

Случай 2:

Ответ:

Решить уравнение: sin 6x + 3sin 4x cos 2x = 0.

Преобразуем произведение в сумму:

Воспользуемся формулой синуса тройного угла: и сделаем замену: t = sin 2x. Решим уравнение для t:

Обратная замена приводит к трем простейшим уравнениям.

Случай 1:

Случай 2:

Случай 3:

Объединяя две последние группы корней, получим окончательный ответ.

Ответ:

Рассмотренный пример иллюстрирует использование преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.

Решить уравнение: sin 2x - 5 + 5sin x - 5cos x = 0.

Сделаем замену: t = sin x - cos x, тогда . Следовательно, sin 2x = 1 - t².

Подставим эти выражения в уравнение:

Очевидно, что разность синуса и косинуса не может равняться четырем, поскольку эти функции не принимают значений, модуль которых превышает 1; поэтому второй корень квадратного уравнения — посторонний. Для t = 1 сделаем обратную замену: sin x - cos x = 1. Применим метод дополнительного угла:

Ответ:

Поскольку , представим .

Кроме того, . Эти преобразования позволяют сделать замену: t = sin 4x и получить для t уравнение:

 — посторонний корень.

Сделаем обратную замену:

Ответ:

Данный пример предполагает использование тождеств:

Решение следующих четырех примеров основано на формулах понижения степени. Напомним, что четные степени синуса и косинуса можно понизить переходом к двойному углу с помощью следующих формул:

Понизим степени тригонометрических функций, входящих в уравнение:

Ответ:

При понижении степени первого слагаемого оно выразится через cos 8x, поэтому у второго слагаемого мы не будем понижать степень, а вместо этого применим к нему основное тождество:

Ответ:

Преобразуем разность четвертых степеней: cos 4x = sin x и применим формулу приведения:

Ответ:

Выразим через : .

Ответ:

Понизим степень в левой части уравнения, а в правой преобразуем произведение в сумму:

 — посторонний корень.

Обратная замена:

Ответ:

Решить уравнение: 20tg 8x + 15sin 8x + 2tg 4x = 0.

Используем универсальную подстановку:

Случай 1:

Случай 2:  — постороннее решение.

Тогда

Ответ:

Обратим внимание на то, что левую часть уравнения с помощью одной из формул универсальной подстановки можно представить как:

 — посторонний корень.

Обратная замена:

Ответ:

Уравнения, содержащие комбинации удобно решать, переходя к синусам и косинусам.

Решить уравнение: 8sin 2x + 3 (tg x + ctg x) - 16 = 0.

Преобразуем сумму тангенса и котангенса:

Теперь можно сделать замену:

 — посторонний корень.

Обратная замена:

Ответ:

Вновь выразим левую часть равенства через функции двойного угла:

Теперь уравнение принимает вид:

Случай 1:

Случай 2:

Ответ:

При решении тригонометрических уравнений (группа С) используются те же приемы, что и при решении алгебраических иррациональных уравнений. Особое внимание требуется обращать на дополнительные ограничения на допустимые значения неизвестного (самая распространенная ошибка в задачах этого типа — включение в ответ посторонних корней).

ОДЗ задается неравенством: Возведем обе части в квадрат:

Замена приводит к уравнению:

 — посторонний корень.

Обратная замена:

Ответ:

Обратим внимание на то, что подкоренное выражение представляет собой полный квадрат: , следовательно,

Сделаем замену: t = sin 3x + cos 3x, тогда |t| = 3 - 2t.

Случай 1:

Случай 2:  — посторонний корень (не соответствует условию раскрытия модуля).

Итак,

.

Ответ: .

Ограничение на ОДЗ: то есть . Учитывая это условие, приравняем каждый множитель к нулю.

Случай 1:

 — посторонний корень.

Следовательно, Этим условиям удовлетворяют углы вида (вторая группа решений тригонометрического уравнения определяет углы, лежащие в четвертой четверти, тангенс которых равен ).

Случай 2:

Ответ:

Для решения тригонометрических уравнений с модулями применяются те же приемы, что и для алгебраических уравнений с модулями.

Решить уравнение: sin 3x + |sin x| = 0.

Во-первых, .

1) sin x = 0, x = ?n;

2)

Во-вторых, .

1) sin x = 0 — не соответствует условию раскрытия модуля;

2)

Ответ:

Решить уравнение: |sin 12x| + |sin 18x| = 0.

Сумма модулей может равняться нулю только в том случае, если при одном и том же значении х оба подмодульных выражения равны нулю. Следовательно, нужно найти общие корни двух уравнений:

Принципиально важно то, что в решениях указаны разные целочисленные параметры. Для общих корней должно выполняться равенство откуда

Поскольку n — целое число, дробь должна быть сократимой, а это возможно только если k кратно трем, то есть . Тогда решение уравнения можно записать так:

Ответ:

Рассмотрим далее тригонометрические уравнения с конечным числом корней. Эти уравнения очень необычны, и конечное число решений связано с тем, что аргумент тригонометрической функции принимает значения из некоторого конечного промежутка.

Найдем множество значений функции Очевидно, что Исследуем ее на экстремум.

при х = 0 — найдена критическая точка.

Слева от нее справа то есть это точка максимума. Так как он является единственным экстремумом, то при х = 0 функция принимает свое наибольшее значение: f (0) = 5.

Следовательно,

Решим простейшее тригонометрическое уравнение: Из предыдущего исследования получаем, что равенство возможно только при условии откуда

Действительно, это единственное целочисленное решение такого неравенства. Тогда

Ответ: .

В следующем примере рассмотрим комбинированные задачи, в которых применяются известные из алгебры методы решения систем и способы решения тригонометрических уравнений. Важно помнить, что при решении системы ответ каждого простейшего уравнения должен записываться с новым целочисленным параметром, который может принимать любое возможное значение независимо от ранее введенных параметров.

Применим метод алгебраического сложения: перейдем к системе, уравнениями которой будут сумма и разность исходных уравнений.

.

Вновь сложим и вычтем полученные уравнения:

Ответ:

Используем подстановку из второго уравнения: .

Применим формулу приведения:

Ответ: .

Вычтем первое уравнение из второго и применим формулу .

Случай 1: cos 4y = 1, тогда из второго уравнения , то есть cos 4x = 0. Получена система двух простейших уравнений:

Случай 2:  

Решая полученную систему простейших уравнений, находим вторую группу корней:

Еще раз напомним, что решение каждого уравнения системы содержит свой целочисленный параметр (решением будет каждая пара чисел, заданная полученными формулами, в которых мы можем задавать n и k любые целые значения, не обязательно одинаковые).

Ответ:

Перейти к выполнению теста: Тест. Комбинированные уравнения