Из школьного курса известно, что два или более уравнений образуют систему, если они имеют общее решение. Решением системы двух уравнений называется пара чисел (x₀; y₀), которая каждое уравнение системы обращает в тождество. Решить систему – значит найти все ее решения.

Далее рассмотрим на примерах несколько способов решения систем.

1. Способ подстановки.

   Решим систему уравнений:

   

   Способ подстановки заключается в следующем:

   1) выражаем одно неизвестное через другое, воспользовавшись одним из заданных уравнений. Обычно выбирают то уравнение, где это делается проще. В данном случае нам все равно, какое из заданных уравнений использовать для нашей цели. Возьмем, например, первое уравнение системы, и выразим x через y: .

   2) подставим во второе уравнение системы вместо x полученное равенство: .

   Получили линейное уравнение относительно переменной y. Решим это уравнение, помножим это равенство на 2, чтобы избавиться от дроби в левой части равенства:

   

   Подставим найденное значение в равенство, выражающее x, получим: .

   Таким образом, нами найдена пара значений , которая является решением заданной системы. Осталось сделать проверку.

   Проверка:

2. Способ уравнивания коэффициентов при неизвестных состоит в том, что исходную систему приводят к такой эквивалентной системе, где коэффициенты при x или y были одинаковы. Покажем, как это делается, на данном примере.

   Решим систему:

   1) Для приравнивания коэффициентов, например при y надо найти НОК(3; 5)=15, где 3 и 5 —коэффициенты при y в уравнениях системы. Затем разделить 15 на 3 — коэффициент при y в первом уравнении, получим 5. Делим 15 на 5 — коэффициент при  — во втором уравнении, получаем 3. Следовательно, первое уравнение системы умножаем на 5. а второе на 3:

   

   2) Так как коэффициенты при y имеют противоположные знаки, складываем почленно уравнения системы:

   

   3) Для нахождения соответствующего значения y подставим значение x в любое исходное уравнение системы (обычно подставляют в то уравнение системы, где отыскание значения y проще). В исходной системе уравнения одинаковы по сложности, поэтому подставим значение x = 4 во второе уравнение, чтобы не делать лишней операции деления на -1:

   Таким образом, найдена пара значений которая является решением заданной системы.

Иногда задаются системы уравнений, где нет необходимости в уравнивании коэффициентов при неизвестных. Почленное сложение или вычитание уравнений системы приводит к простейшему решению.

Например, решить систему уравнений:

Складывая почленно уравнения заданной системы, получим:

.

Подставив вместо x значение 5 во второе уравнение исходной системы, находим соответствующее значение y:

Таким образом, решением системы является

Решение.

Положим . Тогда придем к системе уравнений:

Эту систему решим методом уравнивания коэффициентов. Для этого умножим второе уравнение системы на -2 и сложим с первым уравнением:

Отсюда получаем, что , тогда

Следовательно, имеем систему уравнений: т.е.

Полученную систему будем решать способом уравнивания коэффициентов. Здесь умножим второе уравнение системы на 3 и сложим с первым уравнением, получим:

Получаем, что . Подставим найденное значение переменной x в одно из уравнений системы, найдем значение y. Получим ответ:

При решении систем тригонометрических уравнений последние сводят либо к одному уравнению с одним неизвестным, либо к системе уравнений относительно аргументов или функций этих аргументов.

Рассмотрим лишь некоторые типы тригонометрических уравнений и наиболее употребительные методы их решения.

Решим систему:

Складывая и вычитая уравнения системы согласно формулам преобразования произведения в сумму функции sin ?, получаем равносильную систему:

Полученная система имеет решение в том случае, когда выполняются условия и . А поскольку обе системы равносильны, то и исходная система имеет решения только при указанных условиях. Если эти условия выполнены, то (*), где k и n – любые целые числа, а знаки выбираются произвольно.

Пусть .

Таким образом, формулы (*) определяют четыре серии решений:

Решая эти системы, находим:

Аналогично решается система:

Решение.

Сначала в первом уравнении системы перейдем от градусной меры к радианной: . Далее из первого уравнения системы выражаем y: . Тогда второе уравнение примет вид: (**).

Упростим правую часть полученного уравнения:

Таким образом, уравнение (**) примет вид откуда получаем, что

Так как , то подставив значение , получим:

Ответ:

Решение.

Область определения системы:

Применяя способ подстановки, получаем: (***) Далее решаем второе уравнение системы, имеем: . В результате упрощений получаем: Теперь систему (***) заменим двумя системами:

Решим каждую систему.

Решение первой системы:

Решение второй системы:

Решение.

Вычтем первое уравнение из второго и применим формулу .

Случай 1: cos 4y = 1, тогда из второго уравнения , то есть cos 4x = 0. Получена система двух простейших уравнений:

Случай 2:

Решая полученную систему простейших уравнений, находим вторую группу корней:

Еще раз напомним, что решение каждого уравнения системы содержит свой целочисленный параметр (решением будет каждая пара чисел, заданная полученными формулами, в которых мы можем задавать n и k любые целые значения, не обязательно одинаковые).

Ответ:

Комментарий. При решении показательно-логарифмических систем применяются как обычные методы решения систем (подстановка, замена переменных), так и приемы решения соответствующих уравнений. Если в системе присутствуют логарифмы, не забудьте об ограничениях на допустимые значения неизвестных. Если получившиеся неравенства трудны для решения (например, неравенства с двумя переменными), можно ограничиться подстановкой в них найденных решений.

Решение.

ОДЗ: x > 0, y > 0.

Из первого уравнения можно сделать подстановку:

Находим соответствующие значения у: у₁ = 4 – 1 = 3, у₂ = 4 – 3 = 1. Все найденные решения входят в ОДЗ.

Ответ: (1; 3), (3; 1).

Решение.

ОДЗ: x > 0, y > 0, x ≠ 1, y ≠ 1.

Пусть тогда и из первого уравнения получаем:

3t² – 10t + 3 = 0, t₁ = 3, t₂ =

Случай 1. следовательно, у = х³. Подставим во второе уравнение: х⁴ = 81, с учетом ОДЗ х = 3, у = 33 = 27.

Случай 2.

Ответ: (3; 27), (27; 3).

Решение.

Сделаем замену: и получим систему

Получено однородное уравнение. Разделим обе части на   постороннее решение, так это отношение может быть только положительным.

Итак, Подставим этот результат в первое уравнение системы для u и v:

Единственный положительный корень этого уравнения – . Тогда и после обратной замены получаем: следовательно,

Ответ: (Ѕ; Ѕ).

Решение.

ОДЗ: x > 0, y > 0.

Перейдем во всех логарифмах к основанию 3:

Разделим левую и правую части первого уравнения на соответствующие части второго:   (второе решение отрицательно и является посторонним, так как х и у одного знака, следовательно, их отношение положительно).

Получена подстановка: х = 4у. Тогда из второго уравнения последней системы 4у³ = 1, у = 1, х = 4.

Ответ: (4; 1).

Решение.

ОДЗ: x > 0, y > 0.

При выполнении этих условий прологарифмируем обе части каждого уравнения по основанию 2:

Представим

и сделаем замену: Для новых неизвестных решим систему:

(Заметим, что корни квадратного уравнения для и легко можно найти по теореме Виета). Обратная замена:

Случай 1.

Случай 2.

Ответ: (2; 3), (3; 2).

Решение.

ОДЗ:

Сделаем в первом уравнении замену тогда и первое уравнение примет вид:

Подставим у = х во второе уравнение:

посторонний корень. Следовательно, х² + у² = 36 + 36 = 72 (ответ 3).

Ответ: 3.

Перейти к выполнению теста: Тест. Системы уравнений