Интервальные оценки для генеральной доли
Пусть в n независимых испытаниях некоторое событие A, вероятность появления которого в каждом испытании равна p, имело место m раз, где 0 £ m £ n, тогда границы доверительного интервала для генеральной доли определяются из уравнений:
Эти уравнения решаются приближенно. Для различных значений m, n и надежности g могут быть найдены p1и p2. Могут быть составлены специальные таблицы.
При достаточно больших n (n
> 30) можно считать, что частость 
имеет приближенно
нормальное распределение с параметрами 
В этом случае
доверительный интервал для генеральной доли p определяется соотношением:
(2.32)
где tg определяется по таблице интегральной функции Лапласа Ф(t):
- частость события A;
- частость противоположного события 
;
n - объем выборки.
Точность оценки генеральной доли p равна:
(2.33)
Более точное решение получается, если:
.
Но здесь приходится решать квадратное неравенство относительно неизвестного «р»:
.
При этом значение р(1-р)
– различается в разных точках интервала. Поэтому интервал – не симметричен
относительно 
.
Пример 2. При испытании зерна на всхожесть из n = 400 зерен проросло m = 384. С надежностью g = 0,98 определить доверительный интервал для генеральной доли p.
Решение. По таблице интегральной функции Лапласа из условия g = Ф(tg) = 0,98 определяем tg = 3,06.
Учитывая, что 
, определим точность оценки
= 0,153×0,196 = 0,03
Доверительный интервал равен:
0,96 - 0,03 £ p £ 0,96 + 0,03
и окончательно:
0,93 £ p £ 0,99.
В заключение приведем табл. 2.1, в которой укажем формулы, используемые при интервальном оценивании основных параметров распределений.
Пояснения к табл. 2.1.
1. Стрелка вправо (®) означает порядок решения "прямой" задачи, т.е. определения доверительного интервала по заданной доверительной вероятности.
2. Стрелка вправо (¬) означает порядок решения "обратной" задачи, т.е. определения доверительной вероятности g по заданному доверительному интервалу.
3. Ф(t), S(t) и c2 - соответствующие таблицы законов распределения: нормального, Стьюдента, Пирсона.
4. D - точность оценки соответствующих параметров.
5. h = 2D - ширина доверительного интервала параметров m или p.
6. Обратной является и задача нахождения «n». Но она более трудоемкая, а иногда и неразрешаемая.
Таблица 2.1
Основные формулы, используемые при интервальном оценивании параметров распределений
|
Оцениваемый параметр |
Условия оценки |
Используемое распределение |
Основные формулы |
Доверительный интервал |
|
|
s известно
|
Ф(t) |
g« tg;
|
|
|
m |
s не известно |
St |
|
|
|
|
n £ 30 m известно |
c2 |
|
|
|
s2 |
n £ 30 m не известно |
c2 |
|
|
|
|
n > 30 |
Ф(t) |
g« tg tγл и tγп |
|
|
p |
n ®¥ |
Ф(t) |
g« tg
|
|
Тест
1. Какая статистика является несмещенной оценкой математического ожидания:
а) 
.
б) 
.
в) 
.
г) 
.
2. Какая статистика является несмещенной оценкой генеральной дисперсии:
а) 
.
б) 
.
в) 
.
г) 
.
3. Какая оценка параметра является несмещенной:
а) Если дисперсия оценки является минимальной.
б) Если математическое ожидание оценки равно значению оцениваемого параметра.
в) Если математическое ожидание оценки меньше значения оцениваемого параметра.
г) Если расстояние между оценкой и параметром не превышает 3s.
4. Для расчета интервальной оценки математического ожиданияmпо выборке объема n, при известной дисперсии, точность оценки определяется по формуле:
а) 
.
б) 
.
в) 
.
г) 
.
5. Для расчета нижней границы доверительного интервала математического ожидания m, при неизвестной дисперсии, используют формулу:
а) 
.
б) 
.
в) 
.
г) 
.
5. Для расчета верхней границы доверительного интервала генеральной дисперсии s2, если объем выборки составляет n £ 30, используют формулу:
а) 
.
б) 
.
в) 
.
г) 
.
7. С вероятностью g= 0,95 найти нижнюю границу
доверительного интервала для математического ожидания mслучайной
величины x, если
n = 9, 
, S = 3:
а) 31,25.
б) 41,55.
в) 46,41.
г) 32,75.
8. С вероятностьюg = 0,95 найти нижнюю границу доверительного интервала для генерального среднего квадратического отклонения s случайной величины X, если n = 9, S = 3:
а) 1,65.
б) 3,35.
в) 3. 2,15.
г) 4. 4,75.
9. Определить доверительную вероятность g интервальной оценки математического
ожидания m случайной величины X, если
точность оценки равна D = 2,45 найдена по выборке,
с характеристиками: n = 9, 
, S = 3:
а) 0,99.
б) 0,76.
в) 3. 0,87.
г) 4. 0,95 .
10. Определить доверительную вероятность g интервальной оценки генеральной дисперсии s2, случайной величины X, если верхняя граница интервала равна 37,21 , а n = 9 и S = 3:
а) 0,99.
б) 0,76.
в) 3. 0,87.
г) 4. 0,95.