Математика: Объем цилиндра, конуса, шара

Объем цилиндра, конуса, шара

Основные формулы

Цилиндр (R — радиус основания, H — высота):

V = R²H; Sб = 2RH; S_пп = 2R(R + H).
Конус (R — радиус основания, L — образующая, h — высота конуса):

S_б = RL; S_пп = R² + RL = R(R + L); V = R²h/3.
Усеченный конус (R₁ и R₂ — радиусы оснований; L — образующая, h — высота конуса):

S_{б ус} = L(R₁ + R₂); S_{пп ус} = (R₁L + R₂L + R₂² + R₂²); V_ус = h(R₁² + R₂²)/3.
Шар (R — радиус): S_б =4R²; V = 4R³/3.
Шаровой сегмент (R — радиус шара, h — высота сегмента, r — радиус основания сегмента):

V_сегм = h²(R – h/3) или V_сегм = h(h² + 3r²)/6; S_сегм =2Rh.
Шаровой сектор (R — радиус шара, h — высота сегмента): ,

«+» — если сегмент меньше, «-» —если сегмент больше полусферы.
Шаровой слой (R₁ и R₂ — радиусы оснований шарового слоя; h — высота шарового слоя или расстояние между основаниями): V = h³/6 + h(R₁² + R₂²)/2; S = 2Rh.

Цилиндр

Пример 1.

В цилиндрический сосуд, в котором находится 6 литров воды, опущена деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся в 1,5 раза. Чему равен объем детали?

Решение.

Так как уровень жидкости в сосуде поднялся в 1,5 раза, то и объем увеличился в 1,5 раза, т.е. стал равен 9. Следовательно, объем детали равен 9 - 6 = 3.

Ответ: 3.

Пример 2.

Плоскости, параллельные основанию цилиндра, разбили его на три цилиндра, объемы которых относятся как 1:2:3. Определить, в каком отношении эти плоскости разделили площадь боковой поверхности этого цилиндра.

Решение.

V = R²H — объем цилиндра, S_б = 2RH — площадь боковой поверхности цилиндра. Заметим, что и объем и площадь линейно зависят от высоты цилиндра H. Следовательно, объемы цилиндров, имеющих одинаковые радиусы, относятся, как 1:2:3. Поэтому и площади боковых поверхностей этих цилиндров относятся как 1:2:3.

Ответ: 1:2:3.

Пример 3.

Диагональ осевого сечения цилиндра равна 12 см и образует с плоскостью нижнего основания угол 45°. Найти объём цилиндра.

Решение.

Так как угол между диагональю и высотой тоже равен 45°(180 - 90 - 45 ), то АВС равнобедренный и высота цилиндра равна его диаметру.

По теореме Пифагора: d² + d² = 12² ; 2d² = 144; d² = 72; d = 6 = H, r = 3.

Тогда объем цилиндра V = R²H; V = (3)²6 = 108 .

Ответ: 108 .

Пример 4.

Осевое сечение цилиндра - квадрат, диагональ которого равна 4. Вычислить объем цилиндра.

Решение.

Пусть сторона квадрата a. По теореме Пифагора: a² + a² = (4)² ; 2a² = 32; a² = 16; a = 4.

Тогда R = 2, H = 4. Объем цилиндра: V = R²H; V = 2²4 = 16.

Ответ: 16.

Пример 5.

Какой из цилиндров с объемом 128 см³ имеет наименьшую полную поверхность?

Решение.

Формула нахождения объема цилиндра V = r²h

Подставим значение объема цилиндра в формулу: r² h = 128; r²h = 128; h = 128 / r²

Подставим значение высоты цилиндра в полученную формулу площади полной поверхности цилиндра:

S_пп =2r² + 2rh

S_пп = 2r² + 2r·128 / r²

S_пп = 2r² + 256 / r

Представим полученную формулу как функцию площади поверхности цилиндра от радиуса S(r) = f(r) . Минимальная площадь цилиндра будет достигнута в точке экстремума данной функции. Для нахождения экстремума дифференцируем полученную функцию: f(r) = 2r² + 256 / r .

f '(r) = 4r - 256 / r²

В точке экстремума производная функции равна нулю: f '(r)= 0.

4r - 256 / r² = 0;

4(r³ - 64) / r² = 0;

4(r - 4)(r²+ 4r + 16) / r² = 0;

f’ = 4(r - 4)(r²+ r + 16) / r²

f’ = 0 при r = 4.

Тогда h = 128 / r²;

h = 128 / 16 = 8.

Ответ: минимальная площадь цилиндра будет достигнута при h = 8 см, r = 4 см.

Конус

Пример 6.

Объем конуса равен 27. На высоте конуса лежит точка и делит её в отношении 2:1 считая от вершины. Через точку проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

Решение.

Треугольники AOB и COD подобны. Из условия задачи определим коэффициент подобия как k =2 / 3.

Объем конуса: V_к = R²h / 3 = 27 (по условию), R²h = 81.

Объем малого конуса: V_мк = (2 / 3R)²(2 / 3h) / 3;

V_мк = R²h·4 / 9·2 / 9; V_мк = R²h·8 / 81= 81·8 / 81 = 8.

Ответ: 8.

Пример 7.

Объем цилиндра равен 48 см³. Найти объем конуса, радиус основания которого равен радиусу основания цилиндра, а высота вдвое меньше высоты цилиндра.

Решение.

Учитывая h= H / 2, объем конуса: V_к = R²h / 3 = R²H / 6.

Подставим в формулу объема конуса значение объема цилиндра: V_ц = R²H = 48.

Получим: V_к =48/6 = 8 см³.

Ответ: 8.

Шар

Пример 8.

Радиусы двух шаров равны 6 и 8. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей их поверхностей.

Решение.

Площади поверхностей данных шаров равны 4 · 36 и 4 · 64. Их сумма равна 4 · 100. Следовательно, радиус шара, площадь поверхности которого равна этой сумме, равен 10.

Ответ: 10.

Пример 9.

Найти объем шарового сектора, если радиус окружности его основания r = 60 см, а радиус шара R = 75 см.

Решение.