Основные формулы

• Цилиндр:

  S_б = 2RH; S_пп = 2R(R + H) (R — радиус основания, H — высота)

• Конус:

  S_б = RL; S_пп = RL + R² (R — радиус основания, L — образующая)

• Усеченный конус:

  S_б = (R+r)L; S_пп = (R+r)L + R² + r²(R, r — радиусы оснований)

• Шар:

  S_п = 4R²; S_сегм = 2RН (R — радиус, H — высота сегмента)

Цилиндр

Пример 1.

Концы отрезка АВ лежат на окружностях оснований цилиндра. Радиус цилиндра равен r, его высота — h, а расстояние между прямой АВ и осью цилиндра равно d. Найти площадь боковой поверхности цилиндра, если r = 9 дм, d = 7дм, AB = 12 дм.

Решение.

S_б = 2rh. Для решения задачи надо найти высоту h = BD.

Через точку А, лежащую на окружности основания с центром в точке О, проведем образующую. Пусть она пересекает окружность основания с центром в точке О₁ в точке С. Плоскость АВС параллельна оси ОО₁ цилиндра, поэтому расстояние между прямой АВ и осью цилиндра равно расстоянию от оси до плоскости АВС, т.е. опущенный перпендикуляр ОР = d.

Из прямоугольного ОАР находим

DОA — равнобедренный, поэтому

Из прямоугольного ABD находим

Тогда площадь боковой поверхности цилиндра S_б = 2RH = 2·9·4 = 72.

Ответ: 72.

Пример 2.

Площадь боковой поверхности цилиндра равна S. Найти площадь его осевого сечения.

Решение.

В этой задаче чертеж не обязателен. Площадь боковой поверхности цилиндра равна S_б = 2RH, а площадь осевого сечения S_сеч = 2RH.

По условию 2RH = S, отсюда 2RH = S/.

Ответ: S/.

Пример 3.

Рассматриваются все цилиндры, имеющие периметр осевого сечения, равный 2р. Найти высоту того цилиндра, который имеет наибольшую площадь боковой поверхности.

Решение.

1. Обозначим r и h радиус и высоту цилиндра, периметр осевого сечения которого равен 2р. Тогда 2r + h = р2r = р - h.

2. Площадь боковой поверхности цилиндра выразим по формуле

   S = 2rh = h(р - h) = (рh - h²), где 0 < h < p.

   Величина S меняется в зависимости от h и , следовательно, является функцией h, при условии 0 < h < p. В нашем случае функция площадь боковой поверхности является квадратичной функцией от h. Из свойств квадратичной функции с отрицательным старшим коэффициентом следует, что такая функция достигает своего наибольшего значения при h = [x = -b/2a]= -р/(-2) = р/2.

3. Итак, при заданном периметре осевого сечения, наибольшую площадь боковой поверхности будет иметь тот цилиндр, у которого высота равна четверти периметра осевого сечения.

Ответ: h = р/2.

Замечание. Посмотрим, как относятся высота и диаметр цилиндра, имеющего наибольшую площадь боковой поверхности, при заданном периметре осевого сечения. Мы знаем, что высота h такого цилиндра равна четверти периметра осевого сечения, т.е. h = р/2. Подставим это значение в равенство 2r + h = р. Получим 2r + р/2 = р; р/2 = 2r, т.е. 2r = h. Следовательно, осевое сечение цилиндра, имеющего наибольшую площадь боковой поверхности, при заданном периметре осевого сечения, — квадрат.

Пример 4.

Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если диагональ его осевого сечения, равная 8 см, составляет с образующей цилиндра угол величиной 30 градусов.

Решение.

Поскольку AC = 8 см, а ACD = 30°, то

CD = AC cos 30°,

СD = 8· /2 = 4

Аналогично,

Откуда радиус основания цилиндра равен

R = AD/2 = 4/2 = 2 см.

Площадь основания цилиндра, соответственно, равна

S_о = R² = 4 см².

Площадь боковой поверхности цилиндра: S_б = 2Rh = 2 · 2 · 4 = 16 см².

Площадь полной поверхности цилиндра равна:

S_пп = 2S_о + S_б = 2·4 + 16 = 8 + 16 см².

Ответ: 8 + 16.

Конус.

Пример 5.

Высота конуса равна 5см, а радиус основания 12см. Найдите площадь полной поверхности конуса.

Решение.

Для нахождения площади полной поверхности конуса воспользуемся следующими формулами: S_б = RL, S_о =R², S_пп = S_б + S_о .

Поскольку высота конуса h, радиус основания конуса R и образующая L являются сторонами прямоугольного треугольника, то

L² = h² + R²

Ответ: 300 .

Пример 6 .

Площадь основания конуса 36 см² , а его образующая 10 см. Вычислить боковую поверхность конуса.

Решение.

Зная площадь основания, найдем его радиус.

S = R² ; 36 = R² ; R² = 36 ; R = 6 см.

Площадь боковой поверхности конуса найдем по формуле: S_б = RL

S_б = ·6·10 = 60 см².

Ответ: 60 см² .

Шар

Пример 7.

Емкость имеет форму полусферы (полушара). Длина окружности основания равна 46 см. На 1 квадратный метр расходуется 300 граммов краски. Сколько необходимо краски, чтобы покрасить емкость? 

Решение.

Площадь поверхности фигуры будет равна половине площади сферы и площади сечения сферы. Поскольку нам известна длина окружности основания, найдем ее радиус: L = 2R R = L / 2; R = 46 / 2; R = 23/.

Тогда площадь основания равна S_о = R² или S_о = (23/)² ; S_о = 529 / .

Площадь сферы найдем по формуле: S_cф = 4r² .

А площадь полусферы S_п/сф = 4r²/ 2 или S_п/сф = 2 (23/)² ; S_п/сф = 1058 / .

Общая площадь поверхности фигуры равна:

S_пп = S_о + S_п/сф = 529 / + 1058 / = 1587/ см².

Теперь вычислим расход краски (учтем, что расход дан на квадратный метр, а вычисленное значение в квадратных сантиметрах,

то есть 1 м = 10 000 см²).

1587 / · 300 / 10 000 = 47,61 / 15,15 г .

Ответ: 15,15.

Комбинации тел вращения

Пример 8.

В сферу вписан конус, образующая которого равна L, а угол при вершине осевого сечения равен 60 градусов. Найдите площадь сферы.

Решение.

Площадь сферы найдем по формуле: S = 4r² .

Поскольку в сферу вписан конус, проведем сечение через вершину конуса, которое будет равнобедренным треугольником. Поскольку угол при вершине осевого сечения равен 60°, то треугольник — равносторонний (сумма углов треугольника — 180°, значит остальные углы ( 180-60 )/ 2 = 60°, то есть все углы равны ).

Заметим, что радиус сферы равен радиусу окружности, описанного вокруг равностороннего треугольника. Сторона треугольника по условию равна L, тогда по формуле a_n = 2Rsin (180°) / n получим R = L / (2sin60) = L /3.

Таким образом площадь сферы S = 4(L /3)², S = 4L²/3.

Ответ: 4L²/3.

Пример 9.

Отношение поверхности шара, вписанного в конус, к площади основания конуса равно k. Найти косинус угла между образующей конуса и плоскостью его основания и допустимые значения k.

Дано: S_ш / S_{о кон} = k. Найти cosSAO = cos.

Решение.

Изобразим осевое сечение конуса. Обозначим ОО₁ = х, О₁АО = /2.

О₁АО: tg(/2) = x/ОА ОА = х ·сtg(/2).

Отсюда следует (т.к.  — острый угол), что 0 < k < 4.

Ответ: 0 < k < 4.

Перейти к выполнению теста: Тест. Площадь поверхности тел вращения