Математика: Сечение куба, призмы, параллелепипеда

Способы задания плоскости:

тремя точками, не лежащими на одной прямой;
прямой и точкой, не лежащей на прямой;
двумя параллельными прямыми;
двумя пересекающимися прямыми.

Варианты расположения относительно друг друга многогранника и плоскости.

Задача состоит в построении пересечения двух фигур: многогранника и плоскости (рис. 1 Рис. 1. Построение пересечения многогранника и плоскости ). Это могут быть: пустая фигура (а), точка (б), отрезок (в), многоугольник (г).

Если пересечение многогранника и плоскости есть многоугольник, то этот многоугольник называется сечением многогранника плоскостью.

Когда задача на построение сечения многогранника плоскостью считается решенной?

Будем рассматривать только случай, когда плоскость пересекает многогранник по его внутренности. При этом пересечением данной плоскости с каждой гранью многогранника будет некоторый отрезок. Таким образом, задача считается решенной, если найдены все отрезки, по которым плоскость пересекает грани многогранника.

Какие фигуры получаются в сечении треугольной пирамиды плоскостью?

Ответ: точка, отрезок, треугольник, четырехугольник.

Какие фигуры получаются в сечении куба плоскостью?

Ответ: точка, отрезок, треугольник, четырехугольник, пятиугольник, шестиугольник.

Может ли в сечении пирамиды плоскостью получиться а) пятиугольник, б) шестиугольник?

Ответ: а) и б) — нет.

Чему равно наибольшее число сторон многоугольника, полученного сечением многогранника с плоскостью?

Ответ: наибольшее число сторон многоугольника, полученного в сечении многогранника плоскостью, равно числу граней многогранника.

Построить сечение (PQR) параллелепипеда. Все точки лежат на ребрах двух смежных граней.

Построение:

1) Строим PQ и QR;

2) PQ ∩ BA = F, PQ ∩ BB' = G;

3) GR ∩ CC' = H, GR ∩ BC = M;

4) FM ∩ AD = N, FM ∩ DC = K;

5) PQRHKN — искомое сечение.

Построить сечение параллелепипеда (MLK). Точки K и L лежат на ребрах нижнего основания AB и CB соответственно, а точка М принадлежит боковому ребру DD'.

Построение:

1) KL ∩ DC = X1;

2) MX1 ∩ CC' = Y;

3) LK ∩ AD = X2;

4) MX2 ∩ AA' = P;

6) LYMPK — искомое сечение.

Построить сечение параллелепипеда (XYZ) методом следов, если точки X, Y, Z лежат на трех смежных гранях.

Построение:

1) ZZ1 || YY1 || XX1;

2) XY ∩ X1Y1 = Q;

3) YZ ∩ Y1Z1 = S;

4) QS — след;

5) DA ∩ QS = T;

6) XT ∩ AA' = U, XT ∩ A'D' = N;

7) CB ∩ QS = V;

8) ZV ∩ BB' = W, ZV ∩ C'B' = H;

9) HNUW — искомое сечение.

Построить сечение (M, d) призмы. Точка М принадлежит верхнему основанию, прямая d лежит в плоскости нижнего основания.

Построение:

1) Через точку М проведем прямую n || d;

2) n ∩ B'C' = S, n ∩ E'D' = Q;

3) CB ∩ d = X, BA ∩ d = Y, DE ∩ d = Z;

4) SX ∩ BB' = N;

5) QZ ∩ EE' = T;

6) NY ∩ AA' = P;

7) SNPTQ — искомое сечение.

Построить (M, d) сечение призмы. Точка М принадлежит боковому основанию, прямая d лежит в плоскости нижнего основания.

Построение:

1) CB ∩ d = X, EA ∩ d = Y, DE ∩ d = Z, BA ∩ d = H;

2) MZ ∩ EE' = N, MZ ∩ DD' = T;

3) NY ∩ AA' = G;

4) GH ∩ BB' = P;

5) PX ∩ CC' = S;

6) PSTNG — искомое сечение.

Построить сечение (MNK), если М принадлежит грани ВВ'С'С, а N и K лежат на ребрах A'D' и AB соответственно.

Построение:

1) N' — проекция N, M' — проекция M;

2) NM ∩ N'M' = X;

3) KX ∩ BC = T, KX ∩ DA = Y;

4) TM ∩ CC' = H, TM ∩ B'C' = Z;

5) ZN ∩ C'D' = P;

6) NY ∩ AA' = F;

7) THPNFK — искомое сечение.

Ребро куба равно a. Найти площадь сечения куба плоскостью, проходящей через середины ребер АА₁, AD и A₁B₁.

Решение

Обозначим названные в условии середины ребер соответственно через M, P, K.

Продолжим отрезок MK до его пересечения в точках T и E с продолжениями ребер BB₁ и BA. Через точки E и P проведем прямую до ее пересечения в точке S с продолжением ребра BC. Наконец, проведем прямую через точки S и T. В итоге получается сечение куба в виде многоугольника с вершинами в точках K, M, P, L, F, H. Заметим, что противоположные стороны этого многоугольника параллельны, так как лежат на пересечении параллельных граней плоскостью сечения.

Из равенства треугольников KB₁T, KA₁M и MAE следует, что , а из равенства треугольников AEP и PDL можно заключить, что . Поэтому BT = BS и .

Отсюда следует, что точки H и F — середины ребер куба, из чего в свою очередь следует, что каждая из сторон многоугольника в сечении куба равна .

Так как AM = AP = AE, то треугольник равносторонний, и Поэтому . По тем же причинам каждый из остальных углов сечения равен 120°.

Итак, сечение куба представляет правильный шестиугольник со стороной, равной .

По формуле площади правильного шестиугольника (, где b — длина стороны) находим, что искомая площадь равна:

.

Ответ: (кв. ед.)

Найти площадь сечения прямоугольного параллелепипеда А…D₁, проходящего через середины M, N, L ребер AD, DC, CC₁ соответственно, если АА₁ = 1, АВ = 2, AD = 3.

Решение:

Построение сечения:

1) MN ∩ BC = T, MN ∩ AB = S;

2) TL ∩ B₁C₁ = M₁, TL ∩ BB₁ = Q;

3) SQ ∩ AA₁ = L₁, SQ ∩ A₁B₁ = N₁;

MNLM₁N₁L₁ — искомое сечение.