Основные теоретические сведения

Призмой называется многогранник, у которого две грани (основания) лежат в параллельных плоскостях, а все ребра вне этих граней параллельны между собой.

Грани призмы, отличные от оснований, называются боковыми гранями, а их ребра называются боковыми ребрами.

Все боковые ребра равны между собой как параллельные отрезки, ограниченные двумя параллельными плоскостями. Все боковые грани призмы являются параллелограммами. Соответствующие стороны оснований призмы равны и параллельны. Поэтому в основаниях лежат равные многоугольники.

Поверхность призмы состоит из двух оснований и боковой поверхности.

Высотой призмы называется отрезок, являющийся общим перпендикуляром плоскостей, в которых лежат основания призмы.

Высота призмы равна расстоянию между плоскостями оснований.

Сечение призмы плоскостью, проведенной через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани, называется диагональным сечением призмы.

Прямой призмойназывается призма, у которой боковые ребра перпендикулярно плоскости основания, другие призмы называются наклонными.

Правильной призмой называется прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник.

Призма, основанием которой является параллелограмм, называется параллелепипедом.

Призма. Призмой называется многогранник, у которого две грани (основания призмы)— равные многоугольники с соответственно параллельными сторонами, а все остальные грани — параллелограммы, плоскости которых параллельны одной прямой.

Пусть l — боковое ребро; P — периметр основания; S_осн — площадь основания;H — высота; P_сеч — периметр перпендикулярного сечения; S_сеч – площадь перпендикулярного сечения; S_б — площадь боковой поверхности; V — объем; S_пп — площадь полной поверхности призмы .

Произвольная призма:

S_б = P_сеч ·l, V = S_осн ·H, V = S_сеч ·l

Прямая призма:

S_пп = S_б + 2S_осн , S_б = P·H, V = S_осн·H

Решение задач

Пример 1.

Площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы равна площади основания. Вычислите длину бокового ребра, если сторона основания 7см.

Решение.

Площадь основания призмы найдем по формуле:

По условию эти площади равны, т.е.:

Ответ: .

Пример 2.

Найти площадь полной поверхности правильной треугольной призмы, сторона основания которой 6 см, а высота - 10 см.

Решение.

Площадь основания призмы находится по формуле:

Ответ:

Пример 3.

Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник, в котором высота, проведенная к основанию равна 8см, высота призмы равна 12см. Найдите полную поверхность призмы, если боковая грань что содержит основание треугольника — квадрат.

Решение.

Площадь поверхности призмы будет равна сумме площадей оснований и сумме площадей боковых поверхностей, то есть

S = 2S_ABC + S_A1C1CA + 2S_ABB1A1 .

Поскольку боковая грань, содержащая основание треугольника, является квадратом, то основание треугольника также равно 12 см (основание треугольника одновременно является стороной грани).

Ответ: 480 см².

Пример 4.

Основание прямой призмы — треугольник со сторонами 5 и 3 см и углом 120 градусов между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см², найти площадь боковой поверхности.

Решение.

По теореме косинусов:a² = b² + c² - 2bc·cos

AC² = AB² + BC² - 2·AB·BC·cos120

AC² = 25 + 9 - 2·5·3·cos120

AC² = 34 - 30 ·(-0.5)

AC² = 49, AC = 7 см.

Каждая из граней боковой поверхности представляет собой прямоугольник с высотой, равной высоте призмы. Таким образом, боковая грань призмы наибольшей площади лежит на той стороне основания, длина стороны которого наибольшая.

То есть наибольшая из боковых граней имеет длину 7 см.

Тогда высота призмы равна 35/7 = 5 см.

S_б = 5·5 + 3·5 + 7·5 = 75 см²

Ответ: 75 см² .

Пример 5.

В правильной четырёхугольной призме площадь основания 144 см², а высота 14 см. Найти диагональ призмы и площадь полной поверхности.

Решение.

Ответ: диагональ 22 см, площадь полной поверхности 624 см² .

Пример 6.

Определить полную поверхность правильной четырехугольной призмы, если ее диагональ равна 5 см, а диагональ боковой грани равна 4 см.

Решение.

По теореме Пифагора:

d² = a² + c², D² = a² + a² + c² = 2a² + c².

Получим два уравнения с двумя неизвестными:

Вычтем из второго уравнения первое: a² = 9, a = 3.

Тогда .

S_пп = 2S_осн + 4S_б.

Ответ: см² .

Пример 7.

Основанием прямой призмы ABCD A₁B₁C₁D₁ является параллелограмм ABCD со сторонами 4 см и см и углом, равным 30 градусов. Диагональ DB₁ призмы образует с плоскостью основания угол в 60 градусов. Найдите площадь полной поверхности призмы.

Решение.

По теореме косинусов:

d² = a² + b² - 2abcos30

Ответ: .

Пример 8.

В основании прямой призмы лежит ромб с острым углом . Отношение высоты призмы к стороне основания равно k. Через сторону основания и середину противоположного бокового ребра проведена плоскость. Найти угол между этой плоскостью и плоскостью основания.

Решение.

Обозначим искомый угол ; а отрезок ВС = х.

По теореме о трех перпендикулярах: , поэтому .

Ответ:

Пример 9.

Все ребра призмы ABCA₁B₁C₁ равны между собой. Углы ВАА₁ и САА₁ равны по . Найти расстояние от точки С₁ до плоскости СА₁В₁ , если площадь грани АВВ₁А₁ равна .

Решение.

Так как все ребра равны, то все боковые грани призмы — ромбы, а основания — правильные треугольники. Боковые грани АВВ₁А₁ и АСС₁А₁ — ромбы с углом , поэтому обозначим ВА₁ = СА₁ = СВ₁ = х.

Площадь грани АВВ₁А₁ равна

Из условия получаем уравнение:

Проведем диагонали ромба СВВ₁С₁. Они перпендикулярны, значит, . Т.к. равнобедренный, то его медиана является высотой и . Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, . Поэтому С₁О является искомым расстоянием от точки С₁ до плоскости СА₁В₁.

Наклонные к плоскости (СА₁В₁) С₁А₁ и В₁С₁ равны, следовательно равны их проекции ОВ₁ = ОА₁ . Наклонные СА₁ и А₁В₁ тоже равны, следовательно их х проекции ОС и ОВ₁ тоже равны. Тогда СА₁О = ОС₁А₁ ромб СВВ₁С₁ - квадрат. С₁О — диагональ квадрата со стороной 4.

Ответ:

Перейти к выполнению теста: Тест. Призма