Данный раздел рассматривает универсальный метод решения задач типа С.

Вектор — это направленный отрезок. Его длиной считают длину отрезка.

Если даны две точки M₁ (x₁, y₁, z₁) и M₂ (x₂, y₂, z₂), то вектор

Расстояние между двумя точками — это длина отрезка М₁М₂ или длина вектора n:

Если даны два вектора и , то:

1. Длины векторов:

   

2. Сумма векторов:

   

   Суммой двух векторов a и b является диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах, исходящая из общей точки их приложения (правило параллелограмма); или вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последнего — по правилу треугольника.

   Суммой трех векторов a, b, c называется диагональ параллелепипеда, построенного на этих векторах

   (правило параллелепипеда).

3. Разность векторов:

   

4. Умножение вектора на число (скаляр):

   

   Векторы t и b называются коллинеарными, т.е. лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Пропорциональные координаты — условие коллинеарности векторов.

5. Скалярное произведение векторов:

   

   Если скалярное произведение равно нулю, то векторы перпендикулярны.

6. Угол между векторами a и b, точнее его косинус:

   

7. Векторное произведение векторов:

   

   где S — площадь параллелограмма, построенного на векторах a, b.

   Если , то данные векторы коллинеарные (параллельны прямой).

   

8. Смешанное произведение векторов

   

   Если , то данные векторы компланарные (принадлежат плоскости или параллельны ей).

   Три ненулевых вектора a, b, cкомпланарны, когда один из них выражается через два других, т.е. , где n, m — числа.

   Смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком плюс, если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком минус, если они образуют левую тройку, т.е. .

9. Введение системы координат.

   Как лучше ввести систему координат для самых часто встречающихся в задаче C2 многогранников, рассмотрим на примерах.

   Координаты вершин куба

   

   1. Начало координат — в точке A;

   2. Сторона куба — единичный отрезок.

   3. Ось ОХ направляем по ребру AB, ОY — по ребру AD, а ось OZ — по ребру AA₁.

      Для нижней плоскости куба:

      Точка	A	B	C	D
      Координаты	(0; 0; 0)	(1; 0; 0)	(1; 1; 0)	(0; 1; 0)

      Для верхней плоскости куба:

      Точка
      Координаты	(0; 0; 1)	(1; 0; 1)	(1; 1; 1)	(0; 1; 1)

   Координаты вершин трехгранной призмы

   В задачах C2 встречаются исключительно правильные трехгранные призмы (прямые призмы, в основании которых лежит правильный треугольник).

   

   1. Начало координат — в точке A;

   2. Сторона призмы — единичный отрезок, если иное не указано в условии задачи;

   3. Ось OX направляем по ребру AB, OZ — по ребру AA₁, а ось OY расположим так, чтобы плоскость OXY совпадала с плоскостью основания ABC.

      Заметим, что ось Y НЕ совпадает с ребром AC, т.к. треугольник ABC — равносторонний, в нем все углы по 60°. А углы между осями координат должны быть по 90°, поэтому сверху картинка будет выглядеть так:

      Проведем в этом треугольнике высоту CH. Треугольник ACH — прямоугольный, причем AC = 1, поэтому

      AH = 1 · cos A = cos 60°; CH = 1 · sin A = sin 60°. Эти факты нужны для вычисления координат точки C.

      Получаем следующие координаты точек:

      A	B	C
      (0;0;0)	(1;0;0)		(0;0;1)	(1;0;1)

   Координаты вершин шестигранной призмы

   Начало координат — точку O — поместим в центр симметрии шестиугольника ABCDEF. Ось OX пойдет вдоль FC, а ось OY — через середины отрезков AB и DE. Получим такую картинку:

   Заметим, что начало координат НЕ совпадает с вершиной многогранника! Это позволяет значительно уменьшить объем вычислений.

   OZ перпендикулярна плоскости OXY:

   Пусть все ребра нашей правильной шестигранной призмы равны 1.

   Координаты нижнего основания:

   A	B	C	D	E	F
   		(1;0;0)			(-1;0;0)

   Координаты верхнего основания:

   		(1;0;1)			(-1;0;1)

   Координаты вершин четырехугольной пирамиды

   Разберем только самый простой случай — правильную четырехугольную пирамиду, все ребра которой равны.

   

   Начало координат в точке A, единичный отрезок AB = 1, ось OX направим вдоль AB, ось OY — вдоль AD, а ось OZ — вверх, перпендикулярно плоскости OXY.

   Чтобы найти координаты вершин, проведем высоту SH. Рассмотрим плоскость OXY: в основании лежит квадрат, его координаты известны. Найдем координаты точки S. Поскольку SH — высота к плоскости OXY, точки S и H отличаются лишь координатой z. Длина отрезка SH — это и есть координата z для точки S, поскольку H = (0,5; 0,5; 0).

   Треугольники ABC и ASC равны по трем сторонам (AS = CS = AB = CB = 1, а сторона AC — общая). Следовательно, SH = BH. Но BH — половина диагонали квадрата ABCD, т.е. BH = AB · sin 45°. Получаем координаты всех точек:

   A	B	C	D	S
   (0;0;0)	(1;0;0)	(1;1;0)	(0;1;0)

   Мы рассмотрели лишь самые распространенные многогранники, однако этих примеров достаточно, чтобы самостоятельно вычислить координаты любых других фигур. Поэтому можно приступать, собственно, к методам решения конкретных задач.

   Пример 1.

   В пространстве расположены три точки, заданные своими координатами: A = (1; 6; 3), B = (3; - 1; 7) и C = (- 4; 3; - 2). Найти координаты векторов AB, AC и BC.

   Решение.

   Рассмотрим вектор AB: его начало находится в точке A, а конец — в точке B. Следовательно, чтобы найти его координаты, надо из координат точки B вычесть координаты точки A: AB = (3 - 1; - 1 - 6; 7 - 3) = (2; - 7; 4).

   Аналогично, начало вектора AC — все та же точка A, зато конец — точка C. Поэтому имеем: AC = (- 4 - 1; 3 - 6; - 2 - 3) = (- 5; - 3; - 5).

   Наконец, чтобы найти координаты вектора BC, надо из координат точки C вычесть координаты точки B: BC = (- 4 - 3; 3 - (- 1); - 2 - 7) = (- 7; 4; - 9).

   Ответ: AB(2; - 7; 4); AC(- 5; - 3; - 5); BС (- 7; 4; - 9).

   Пример 2.

   Найти косинус угла между векторами a = (4; 3; 0) и b = (0; 12; 5).

   Решение.

   Поскольку координаты векторов даны, подставляем их в формулу №6:

   

   Ответ: 36/65.

   Пример 3.

   Вычислить площадь треугольника с вершинами А(1;-1;2), В (5;-6;2), С(1;3;-1).

   Решение.

   

   тогда площадь треугольника АВС будет вычисляться следующим образом:

   

   Ответ: 12,5.

   Пример 4.

   Вычислить смешанное произведение векторов

   Решение.

   

   Ответ: 95.

10. Вычисление направляющих векторов прямых

    Направляющим вектором прямой называется вектор параллельный данной прямой.

    Прямая задается парой точек. Если ввести систему координат и рассмотреть вектор с началом и концом в этих точках, получим, так называемый, направляющий вектор прямой:

    

    Угол между двумя прямыми — это угол между их направляющими векторами.

    Пример 5.

    В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны 1, проведены прямые AB₁ и AC₁. Найдите координаты направляющих векторов этих прямых.

    Решение.

    

    Введем систему координат: начало в точке A, ось x совпадает с AB, ось z совпадает с AA₁, ось y образует с осью x плоскость OXY, которая совпадает с плоскостью ABC.

    A(0; 0; 0), B1(1; 0; 1), тогда AB₁ (1 - 0; 0 - 0; 1 - 0) = AB₁(1; 0; 1) — направляющий вектор прямой AB₁ .

     — направляющий вектор для прямой AC₁.

    

    Ответ: AB₁ = (1; 0; 1).

11. Вычисление нормалей плоскостей

    Уравнение плоскости в трехмерном пространстве: Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C и D — действительные числа, причем, если плоскость проходит через начало координат, то D = 0. А если не проходит, то D = 1.

    Нормальный вектор (нормаль) к плоскости — это вектор, перпендикулярный данной плоскости.

    Вектор, перпендикулярный к плоскости Ax + By + Cz + D = 0, имеет координаты: n = (A; B; C).

    В задачах типа С2 часто требуется найти угол между прямой и плоскостью. Этот угол легко найти формуле №6 как синус угла между нормалью и направляющим вектором прямой. (Синус, т.к. ).

    Пример 6.

    Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0), если известно, что она не проходит через начало координат.

    Решение.

    Общее уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0, но, поскольку искомая плоскость не проходит через начало координат —

    точку (0; 0; 0) — то положим D = 1. Поскольку эта плоскость проходит через точки M, N и K, то координаты этих точек должны обращать уравнение в верное числовое равенство.

    Подставим вместо x, y и z координаты точки M = (2; 0; 1). Имеем:

    A · 2 + B · 0 + C · 1 + 1 = 0 2A + C + 1 = 0.

    Аналогично, для точек N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0) получим уравнения:

    A · 0 + B · 1 + C · 1 + 1 = 0 B + C + 1 = 0;

    A · 2 + B · 1 + C · 0 + 1 = 02A + B + 1 = 0.

    Итак, у нас есть три уравнения и три неизвестных. Составим и решим систему уравнений:

    

    Получили, что уравнение плоскости имеет вид: - 0,25A - 0,5B - 0,5C + 1 = 0.

    Ответ: - 0,25A - 0,5B - 0,5C + 1 = 0

    Пример 7.

    Плоскость задана уравнением 7x - 2y + 4z + 1 = 0. Найти координаты вектора, перпендикулярного данной плоскости.

    Решение.

    Используя третью формулу, получаем n = (7; - 2; 4).

    Ответ: (7; - 2; 4).

    Пример 8.

    В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ проведено сечение A₁BC₁. Найти нормальный вектор для плоскости этого сечения, если начало координат находится в точке A, а оси x, y и z совпадают с ребрами AB, AD и AA₁ соответственно.

    Решение.

    

    Поскольку плоскость не проходит через начало координат, ее уравнение выглядит так: Ax + By + Cz + 1 = 0, т.е. коэффициент D = 1. Поскольку эта плоскость проходит через точки A₁, B и C₁, то координаты этих точек обращают уравнение плоскости в верное числовое равенство.

    Подставим вместо x, y и z координаты точки A₁ = (0; 0; 1). Имеем:

    A · 0 + B · 0 + C · 1 + 1 = 0 C + 1 = 0 C = - 1.

    Аналогично, для точек B = (1; 0; 0) и C₁ = (1; 1; 1) получим уравнения:

    A · 1 + B · 0 + C · 0 + 1 = 0 A + 1 = 0 A = - 1;

    A · 1 + B · 1 + C · 1 + 1 = 0 A + B + C + 1 = 0.

    Но коэффициенты A = - 1 и C = - 1 нам уже известны, поэтому остается найти коэффициент B:

    B = - 1 - A - B = - 1 + 1 + 1 = 1.

    Получаем уравнение плоскости: - х + у - z + 1 = 0. Следовательно, координаты нормального вектора равны n(- 1; 1; - 1).

    Ответ: (- 1; 1; - 1)

    Пример 9.

    В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ проведено сечение AA₁C₁C. Найти нормальный вектор для плоскости этого сечения, если начало координат находится в точке A, а оси x, y и z совпадают с ребрами AB, AD и AA₁ соответственно.

    Решение.

    

    В данном случае плоскость проходит через начало координат, поэтому коэффициент D = 0, а уравнение плоскости выглядит так: Ax + By + Cz = 0.

    Поскольку плоскость проходит через точки A₁ и C, координаты этих точек обращают уравнение плоскости в верное числовое равенство. Подставим вместо x, y и z координаты точки A₁(0; 0; 1): A · 0 + B · 0 + C · 1 = 0 C = 0.

    Аналогично, для точки C (1; 1; 0): A · 1 + B · 1 + C · 0 = 0 A + B = 0 A = - B.

    Положим B = 1. Тогда A = - B = - 1, и уравнение всей плоскости имеет вид: - A + B = 0. Следовательно, координаты нормального вектора равны n (- 1; 1; 0).

    Ответ: (- 1; 1; 0).

12. Координаты середины отрезка

    Пусть отрезок задан своими концами — точками A = (xa; ya; za) и B = (xb; yb; zb). Тогда координаты середины отрезка — обозначим ее точкой H — можно найти по формуле:

    

    Другими словами, координаты середины отрезка — это среднее арифметическое координат его концов.

    Пример 10.

    Единичный куб ABCDA₁B₁C₁D₁ помещен в систему координат так, что оси x, y и z направлены вдоль ребер AB, AD и AA₁ соответственно, а начало координат совпадает с точкой A. Точка K — середина ребра A₁B₁. Найдите координаты этой точки.

    Решение.

    

    Поскольку точка K — середина отрезка A₁B₁, ее координаты равных среднему арифметическому координат концов. Запишем координаты концов: A₁ = (0; 0; 1) и B₁ = (1; 0; 1). Теперь найдем координаты точки K:

    

    Ответ: (0,5; 0; 1).

    Пример 11.

    Единичный куб ABCDA₁B₁C₁D₁ помещен в систему координат так, что оси x, y и z направлены вдоль ребер AB, AD и AA₁ соответственно, а начало координат совпадает с точкой A. Найдите координаты точки L, в которой пересекаются диагонали квадрата A₁B₁C₁D₁.

    Решение.

    

    Из курса планиметрии известно, что точка пересечения диагоналей квадрата равноудалена от всех его вершин. В частности, A₁L = C₁L, т.е. точка L — это середина отрезка A₁C₁. Но A₁ (0; 0; 1), C₁ (1; 1; 1), поэтому имеем:

    

    Ответ: (0,5; 0,5; 1).

13. Вычисление расстояния от точки до плоскости

    Дана точка М(x₀ ,y₀ ,z₀ ) и уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C и D — действительные числа. Напомним, что если плоскость проходит через начало координат, то D = 0, а если не проходит, то D = 1. Тогда d — расстояние от данной точки до плоскости вычисляют по формуле:

    

    Пример 12.

    В примере 8 найти расстояние от точки D до плоскости А₁С₁В.

    Решение.

    В примере 8 мы нашли уравнение плоскости: - x + y - z + 1 = 0. Подставим координаты точки D(0; 1; 0) и значения нормального вектора n(-1; 1; -1) в формулу:

    

    Ответ:

    Пример 13.

    В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до плоскости BCA₁.

    Решение.

    

    Подставим в уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0 координаты точек А₁(0; 0; 1), В(1; 0; 0), С(1/2;/2; 0). Найдем уравнение плоскости из системы уравнений:

    

    Тогда расстояние между точкой М и плоскостью:

    

    Ответ:

Тренировочные задачи

Пример 14.

Найти косинус угла между прямыми АD и ВС₁, если D – середина ребра А₁В₁ правильной треугольной призмы АВСА₁В₁С₁.

Решение.

Очевидно, речь идет о косинусе угла между двумя прямыми. Введем систему координат: начало координат поместим в точку A, единичный отрезок равен AB = 1. Ось x направим вдоль AB, ось z — вдоль AA₁, а ось y расположим так, чтобы плоскость OXY совпадала с плоскостью ABC.

Найдем координаты вектора AD: A(0; 0; 0), точка D — середина отрезка A₁B₁, причем A1 (0; 0; 1), B1 (1; 0; 1), тогда D (0,5; 0; 1) — координаты середины отрезка равны среднему арифметическому координат концов.

Итак, находим координаты вектора AD:

AD = (0,5 - 0; 0 - 0; 1 - 1) = (0,5; 0; 1) (1; 0; 2) — избавились от дробей, умножив координаты вектора на 2.

Теперь найдем координаты вектора BC₁:

Координаты вектора BC₁ также оптимизировали, умножив все на 2.

Ответ:

Пример 15.

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E и F — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BF.

Решение.

Введем систему координат следующим образом: начало координат — точка A, единичный отрезок равен AB = 1. Ось x направим вдоль AB, ось y — вдоль AD, а ось z направим вверх, т.е. перпендикулярно плоскости ABC. Найдем координаты векторов AE и BF.

Координаты точек A(0; 0; 0) и B(1; 0; 0) находятся легко. Точки E и F — середины отрезков SB и SC соответственно, поэтому для нахождения их координат нам потребуются точки C и S:

Координаты точек E и F нашли, проведя диагональ основания, высоту и воспользовались теоремой Пифагора.

Найдем и оптимизируем координаты векторов AE и BF:

В обоих случаях координаты вектора умножены на 4, чтобы избавиться от дробей. Осталось найти косинус:

Ответ: 1/6.

Пример 16.

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ отмечены точки E и F — середины ребер A₁B₁ и B₁C₁ соответственно. Найдите угол между прямыми AE и BF.

Решение.

Введем систему координат: начало в точке A, оси x, y, z направим вдоль AB, AD и AA₁ соответственно. Единичный отрезок равен AB = 1.

Найдем координаты направляющих векторов для прямых.

Найдем координаты вектора AE: A (0; 0; 0), Е (0,5; 0; 1). Поскольку точка E — середина отрезка A₁B₁, ее координаты равны среднему арифметическому координат концов. Заметим, что начало вектора AE совпадает с началом координат, поэтому AE (0,5; 0; 1).

Найдем координаты вектора BF. B(1; 0; 0), F (1; 0,5; 1), F — середина отрезка B₁C₁. Имеем: BF(1 - 1; 0,5 - 0; 1 - 0) = BF (0; 0,5; 1).

Итак, косинус угла между прямыми — это косинус угла между направляющими векторами, поэтому имеем:

Ответ: arccos 0,8.

Пример 17.

В правильной трехгранной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны 1, отмечены точки D и E — середины ребер A₁B₁ и B₁C₁соответственно. Найдите угол между прямыми AD и BE.

Решение.

Введем систему координат: начало координат в точке A, ось x направим вдоль AB, z — вдоль AA₁. Ось y направим так, чтобы плоскость OXY совпадала с плоскостью ABC. Единичный отрезок равен AB = 1.

Найдем координаты направляющих векторов для искомых прямых.

Для начала найдем координаты вектора AD. Рассмотрим точки: A (0; 0; 0), D (0,5; 0; 1), D — середина отрезка A₁B₁. Поскольку начало вектора AD совпадает с началом координат, получаем AD = (0,5; 0; 1).

Теперь найдем координаты вектора BE. B (1; 0; 0), точка E — середина отрезка C₁B₁:

Осталось найти косинус угла:

Ответ: arccos 0,7.

Пример 18.

В правильной шестигранной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, все ребра которой равны 1, отмечены точки K и L — середины ребер A₁B₁ и B₁C₁ соответственно. Найти угол между прямыми AK и BL.

Решение.

Введем систему координат: начало координат поместим в центр нижнего основания, ось x направим вдоль FC, ось y — через середины отрезков AB и DE, а ось z — вертикально вверх. Единичный отрезок равен AB = 1. Выпишем координаты интересующих нас точек:

Точки K и L — середины отрезков A₁B₁ и B₁C₁ соответственно, поэтому их координаты находятся через среднее арифметическое. Зная точки, найдем координаты направляющих векторов AK и BL:

Теперь найдем косинус угла:

Ответ: arccos 0,9.

Перейти к выполнению теста: Тест. Векторы на плоскости и в пространстве