Последовательность чисел, каждый следующий член которой равен предыдущему, умноженному на одно и то же число, называется геометрической прогрессией
. Это число называется знаменателем геометрической прогрессии и обозначается буквой q.
Рекуррентная формула n-го члена: bn+1 = bn q
Формула n-го члена: bn = b1 qn-1
Сумма первых n членов 1-я формула 
Сумма первых n членов 2-я формула 
Сумма бесконечной геометрической прогрессии 
Если b1 > 0 и или b1 < 0 и 0 < q < 1, то прогрессия является возрастающей.
Если b1 > 0 и 0 < q < 1 или b1 < 0 и q > 1, то прогрессия является убывающей.
Если q < 0, то геометрическая прогрессия является знакопеременной: ее члены с нечетными номерами имеют тот же знак, что и ее первый член, а члены с четными номерами — противоположный ему знак. Знакопеременная геометрическая прогрессия не является монотонной.
Пример 1.
У гражданина Петрова 1 августа 2000 г. родился сын. По этому случаю он открыл в некотором банке вклад в 1000 рублей. Каждый следующий год 1 августа он пополнял вклад на 1000 рублей. По условиям договора банк ежегодно 31 июля начислял 20% на сумму вклада. Через 6 лет у гражданина Петрова родилась дочь, и он открыл в другом банке еще один вклад, уже в 2200 рублей, и каждый следующий год пополнял этот вклад на 2200 рублей, а банк ежегодно начислял 44% на сумму вклада. Через сколько лет после рождения сына суммы на каждом из двух вкладов сравняются, если деньги из вкладов не изымаются?
Решение
Через n лет в первом банке будет сумма:
Через n — 6 лет во втором банке окажется:
Приравняем эти суммы и решим полученное уравнение:
Ответ: 11.
Пример 2.
Найдите разность восьмого и шестого членов геометрической прогрессии, если их сумма равна 16, а произведение второго и двенадцатого членов этой прогрессии равно 28.
Решение
bn = b1 qn-1
Составим систему уравнений по условию задачи:
или b6 = 2. Тогда b8 = 2 или b8 = 14.
b8 — b8 = -12 или b8 — b6 = 12
Ответ: -12, 12.
Пример 3.
Найдите x, если известно, что числа 
являются последовательными членами геометрической прогрессии (в указанном порядке).
Решение
Воспользуемся характеристическим свойством прогрессии:
(x — 2)(x + 5) = 6x, x2 — 3x — 10 = 0, x = 5 или x = -2. По условию x > 0.
Ответ: 5.
Пример 4.
Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если разность ее тридцатого и двадцать седьмого членов в 30 раз больше суммы двадцать шестого, двадцать седьмого и двадцать восьмого членов.
Решение
Используя формулу общего члена прогрессии bn = b1 qn-1, запишем условие задачи:
b30 — b27 = b1q29 — b1q26 = b1q26(q3 — 1).
b26 + b27 + b28 = b1q25 + b1q26 + b1q27 = b1q25(1 + q + q2).
Согласно условию составим уравнение: b1q26(q3 — 1) = 30 b1q25(1 + q + q2) |: b1q25
q(q — 1)(1 + q + q2) = 30(1 + q + q2) |: (1 + q + q2), q2 — q — 30 = 0, q = 6 или q = -5.
Ответ: 6, -5.
Пример 5.
Если тринадцатый член геометрической прогрессии увеличить в 12 раз и сложить с пятнадцатым членом, то получится число, в 7 раз большее ее четырнадцатого члена. Найдите знаменатель прогрессии.
Решение
Согласно условию составим уравнение: 12b13 + b15 = 7b14.
Используя формулу общего члена прогрессии bn = b1 qn-1, получим уравнение:
12b1q12 + b1q14 = 7b1q13 |: b1q12, q2 — 7q + 12 = 0, q = 4 или q = 3.
Ответ: 4, 3.
Пример 6.
Найдите знаменатель геометрической прогрессии, у которой отношение седьмого члена к шестому в 7 раз меньше отношения шестого члена к четвертому.
Решение
Подставим в условие задачи: 
формулу общего члена прогрессии bn = b1 qn-1, получим 
, откуда q2 = 7q, q = 7.
Ответ: 7.
Пример 7.
Существует ли геометрическая прогрессия, в которой третий член равен 9, а девятый член равен -3?
Решение
Пусть такая прогрессия существует, тогда согласно условию:
b3 = b1q2 = 9,
b9 = b1q8 = -3,
Разделим второе уравнение на первое, получим: q6 = -1/3.
Полученное равенство невозможно ни при каком q, поскольку выражение q6 принимает только положительные значения.
Значит, предположение неверно, такая прогрессия не существует.
Ответ: не существует
Пример 8.
Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если ее пятьдесят первый член в 36 раз меньше ее пятьдесят третьего члена.
Решение
Используя формулу общего члена прогрессии bn = b1 qn-1, получим:
Ответ: 6, -6.
Пример 9.
Первый член бесконечной геометрической прогрессии на 8 больше второго, а сумма ее членов равна 18. Найти третий член прогрессии.
Решение
Выразим первый член прогрессии, используя формулу общего члена:
Подставим полученное значение для первого члена в формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии: 
1 — q = 2/3 или 1 — q = -2/3, откуда q = 1/3 или q = 1 2/3 > 1, не подходит, т.к. |q| < 1.
.
Ответ: 4/27.
Пример 10.
Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 1,5, а сумма квадратов ее членов равна 1,125. Найти первый член и знаменатель прогрессии.
Решение
Если вынесем общий множитель в выражении для суммы квадратов членов прогрессии, то можно заметить, что в скобках получим новую бесконечную геометрическую прогрессию с первым членом, равным 1 и знаменателем q2:
поэтому
Запишем теперь оба условия задачи в виде системы:
Разделим 2-е уравнение на 1-е: 
Приравняем правые части полученных уравнений и найдем q:
Ответ: 1; 1/3.
Пример 11.
Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии равна 4, а сумма кубов ее членов равна 64/7. Найти сумму квадратов членов этой прогрессии.
Решение
Если вынесем общий множитель в выражении для суммы кубов членов прогрессии, то можно заметить, что в скобках получим новую бесконечную геометрическую прогрессию с первым членом, равным 1 и знаменателем q3:
S = b13 + b23 + b33 +… = b13 + b13 q3 + b13 q6 +… = b13(1 + q3 + q3 +…) = 64/7, поэтому
Запишем теперь оба условия задачи в виде системы:
Разделим 2-е уравнение на 1-е: 
Если возведем второе уравнение системы в квадрат, то сможем приравнять правые части полученных уравнений и найти q:
1 + q + q2 = 7(1 — 2q + q2), 1 + q + q2 = 7 — 14q + 7q2, 6q2 — 15q + 6 = 0 |: 3,
2q2 — 5q + 3 = 0, q = 0,5 или q = 2 > 1, поэтому корень исключаем.
Тогда b1 = 4(1 — 0,5 ) = 2.
А искомая сумма S = b12 + b22 + b32 +… = b12 + b12 q2 + b12 q4 +… = b12(1 + q2 + q4 + …)
.Ответ: 16/3.
