Последовательность чисел, каждый следующий член которой равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией
. Это число называется разностью арифметической прогрессии и обозначается буквой d.
Рекуррентная формула n-го члена: an+1 = an + d
Формула n-го члена: an = a1 + d(n — 1)
Сумма первых n членов 1-я формула 
Сумма первых n членов 2-я формула 
Свойство крайних членов a1 + an = a2 + an-1 = a3 + an-2 = ….
Если d > 0 арифметическая прогрессия является монотонно возрастающей.
Если d < 0 арифметическая прогрессия является монотонно убывающей.
Пример 1.
Том Сойер и Гекльберри Финн красят забор длиной 100 метров. Каждый следующий день они красят больше, чем в предыдущий, на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме они покрасили 20 метров забора. За сколько дней был покрашен весь забор?
Решение
Пусть ребята в первый день покрасили a1 метров забора, во второй — а2 метров и т.д., в последний — аn метров забора. Тогда a1 + аn = 20 (м), а за n дней было покрашено:
Поскольку всего было покрашено 100 м забора, имеем: 10n = 100, откуда n = 10.
Ответ: 10.
Пример 2.
Вычислить: 1 — 2 + 3 — 4 + 5 — 6 + … + 999 999 — 1 000 000.
Решение
Представим данное выражение в виде разности сумм:
(1 + 3 + 5 + … + 999 999) — (2 + 4 + 6 +…+ 1 000 000) = S1 — S2
999 999 = 1 + 2(n — 1), 2n = 1 000 000, n = 500 000.
S1 = (1 + 999 999) ∙ 500 000 / 2 = 250 000 000 000.
1) 1 000 000 = 2 + 2(n — 1), 2n = 1 000 000, n = 500 000.
S2 = (2 + 1 000 000) ∙ 500 000/2 = 250 000 500 000.
2) S1 — S2 = 250 000 000 000 — 250 000 500 000 = -500 000.
Ответ: -500 000.
Пример 3.
Вычислить сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 1112 и не делящихся на 15.
Решение
Найдем все числа, которые делятся на 15 = 3 ∙ 5: 15; 30; 45; …; 1110.
15 + 15(n — 1) ≤ 1112, S74 = (2 ∙ 15 + 15(74 — 1)) ∙ 74/2 = 41 625 — это
15(n — 1) ≤ 1097, сумма всех натуральных чисел кратных 15.
n — 1 ≤ 73,13 S1112 = (2 ∙ 1 + 1(1112 — 1)) ∙ 1112 / 2 = 618 828 —
n ≤ 74,13 — это сумма всех натуральных чисел ≤ 1112.
n = 74. S1112 — S74 = 618 828 — 41 625 = 577 203.
Ответ: 577 203.
Пример 4.
Среди чисел вида (5n + 2) / 7, n ϵ N, найти сумму первых 70 целых чисел.
Решение
Все целые числа данного вида это: 1; 6; 11; 16; …. (их получим, если будем подставлять в формулу n-го члена n = 1, n = 2, n = 3 и т.д.).
a70 = 1 + 5(70 — 1) = 346
S70 = (2 ∙ 1 + 5(70 — 1)) ∙ 70/2 = 347 ∙ 70/2 = 12 145.
Ответ: 12 145.
Пример 5.
Среди чисел вида 3n + 1, n ϵ N, найти сумму первых 30, которые при делении на 5 дают в остатке 2.
Решение
Числа, которые при делении на 5 дают в остатке 2, имеют вид 5k + 2.
Найдем данные числа: 5(3n + 1) + 2 = 15n + 7, т.е. это: 7; 22; 37;…
a30 = 7 + 15(30 — 1) = 442
S30 = (7 + 442)) ∙ 30/2 = 6735.
Ответ: 6735.
Пример 6.
В арифметической прогрессии девятнадцатый член равен -35, тридцать седьмой равен 1, а сумма первых n членов прогрессии равна нулю. Найти n.
Решение
Вычтем из второго первое уравнение, получим: 36 = 18d, d = 2.
Тогда a1 = 1 — 72 = -71. Подставим все данные в формулу суммы:
(2 ∙ (-71) + 2(n — 1))n/2 = 0, -71 + n — 1 = 0, n = 72.
Ответ: 72.
Пример 7.
Найти все значения х, при которых числа 4х2, 5х + 10 и 12 — 6х2 являются последовательными членами арифметической прогрессии, в указанном порядке.
Решение
Данные числа будут последовательными членами арифметической прогрессии, если второе число является средним арифметическим первого и второго:
5х + 10 = (4х2 + 12 — 6х2)/2, 2(5х + 10) = 12 — 2х2, 2х2 + 10х — 8 = 0, х2 + 5х — 4 = 0.
Корни последнего уравнения -4 и -1.
Ответ: -4, -1.
Пример 8.
В арифметической прогрессии второй член равен 5, разность равна 3, а сумма первых n членов прогрессии равна 222. Найти n.
Решение
Зная второй член прогрессии и разность, находим первый член a1 = 5 — 3 = 2. По формуле суммы 
находим:
222 = (4 + 3(n — 1))n/2; 444 = 4n + 3n2 — 3n; 3n2 + n — 444 = 0.
Натуральный корень последнего уравнения 12.
Ответ: 12.
Пример 9.
Найти сумму членов арифметической прогрессии a1 + a11 + a12 + a22,
если a3 + a20 = 24.
Решение
a3 + a20 = a1 + 2d + a1 + 19d = 2a1 + 21d = 24.
a1 + a11 + a12 + a22 = a1 + a1 + 10d + a1 + 11d + a1 + 21d = 4a1 + 44d = 2(2a1 + 21d) = 48.
Ответ: 48.
Пример 10.
Найти сумму всех членов арифметической прогрессии 8; 6; … с шестого по двенадцатый включительно.
Решение
Разность прогрессии равна d = 6 — 8 = -2. По формуле an = a1 + d(n — 1), найдем a6 = 8 — 2(6 — 1) = 8 — 12 + 2 = -2. С 6-го по 12-й ровно n = 7 членов.
S7 = (2 ∙ (-2) — 2(7 — 1))7/2 = (-4 —14 + 2)3,5 = -56.
Ответ: -56.
Пример 11.
В арифметической прогрессии восьмой член равен -22, а двадцатый равен -58. Найти первый член этой прогрессии.
Решение
Вычтем из 2-го уравнения 1-е, получим: -36 = 12d, d = -3.
Тогда a1 = -22 + 3 ∙ 7 = -1.
Ответ: -1.
Пример 12.
В арифметической прогрессии второй член равен 3, а сумма 18 первых членов равна 1539. Найти разность этой прогрессии.
Решение
Подставим все данные в формулы: an = a1 + d(n — 1), 
3 = a1 + d, откуда a1 = 3 — d,
1539 = (2a1 + 17d)18/2, 1539 = (2a1 + 17d)9 |: 9, 171 =2a1 + 17d,
171 =2(3 — d) + 17d, 171 = 6 — 2d + 17d, 15d = 165, d =11.
Ответ: 11.
Пример 13.
В арифметической прогрессии отношение третьего члена к девятому равно 4. Найти отношение пятьдесят первого к пятнадцатому.
Решение
Подставим данные задачи в формулу: an = a1 + d(n — 1),
a1 + 2d = 4(a1 + 8d), 3a1 = -30d, a1 = -10d.
(a1 + 50d) : (a1 + 14d) = (-10d + 50d) : (-10d + 14d) = 40d : 4d = 10.
Ответ: 10.
