Геометрический смысл производной
Значение производной функции y = f(x) в точке х0 равно угловому коэффициенту касательной
(k), проведенной к графику функции в точке с абсциссой х0.
Угловой коэффициент касательной равен тангенсу угла касательной с положительным направлением оси ОХ.
f'(x0) = k = tgα.
Уравнение касательной проще запомнить, если понимать ее геометрическое «происхождение»:
Физический смысл производной
Если тело или материальная точка движутся по закону S = S(t), то значение мгновенной скорости движения тела равно значению первой производной функции, задающей закон движения, в указанный момент времени t0 : v0 = S'(t0), а значение мгновенного ускорения движения тела равно значению второй производной функции, задающей закон движения, в указанный момент времени t0 : a(t0) = v'(t0) = S''(t0).
Пример 1.
Тело движется прямолинейно по закону 
, где путь S(t) измеряется в метрах, а время t — в секундах. Найти: а) скорость тела в момент t = 1 с; б) ускорение тела в момент t = 3 с.
Решение
а) производная пути — это мгновенная скорость тела в данный момент времени: 
б) производная скорости — это мгновенное ускорение тела в данный момент времени: 
Знак минус показывает, что движение равнозамедленное.Ответ: а) 5; б) -6.
Пример 2.
В какой момент времени тело остановится, если тело движется по закону S(t) = 6t — t2
Решение
В момент остановки скорость равна нулю, т.е. v(t) = S'(t) = 6 — 2t; v(t) = 0, когда 6 — 2t = 0, т.е. t = 3 (c).
Ответ: 3.
Пример 3.
Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции у = х3 — 3х2 + 2 в точке с абсциссой х0 = 2.
Решение
Угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции — это производная функции в данной точке:
k = y' = 3x2 — 6x; y'(2) = 3 · 22 — 6 · 2 = 0.
Заметим, что если k = 0, касательная параллельна оси ОХ.
Ответ: 0.
Пример 4.
На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (-8; 3). Найти количество точек, в которых производная функции равна 0.
Решение
Согласно геометрическому смыслу производная — это тангенс угла наклона касательной в точке графика функции. Тангенс равен нулю, если касательная параллельна оси ОХ. Таких точек на графике 5:
при х = -5, х = -3, х = 0, х = 1, х = 2.
Ответ: 5.
Пример 5.
На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (-8; 3). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = 18.
Решение
В уравнении касательной у = 0х + 18, k = 0, поэтому касательные параллельны оси ОХ. Таких прямых на графике можно провести 5 штук в точках: х = -5, х = -3, х = 0, х = 1, х = 2.
Ответ: 5.
Пример 6.
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-11; 3). Найдите количество таких чисел x что касательная к графику функции f(x) в точке x, параллельна прямой у = Зх — 11 или совпадает с ней.
Решение
В уравнении касательной у = 3х — 11, k = 3, а значит, производная функции равна 3. Проведем прямую у = 3 и найдем точки пересечения с графиком: их ровно 5 штук.
Ответ: 5.
Пример 7.
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-5; 3). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции f(x) параллельна прямой у = 2х + 7 или совпадает с ней.
Решение
В уравнении касательной у = 2х + 7, k = 2, а значит, производная функции равна 2. Проведем прямую у = 2 и найдем точки пересечения с графиком: их ровно 1 штука, в точке с абсциссой х = -1.
Ответ: -1.
Пример 8.
Прямая у = 38х — 28 параллельна касательной к графику функции у = 3х2 + 8х — 2. Найти абсциссу точки касания.
Решение
В уравнении касательной у = 38х — 28, k = 38, а значит, производная функции равна 38: k = y' = 6x + 8; 6x + 8 = 38; 6х = 30; х = 5.
Ответ: 5.
Пример 9.
Найти тангенс наклона касательной, проведенной к графику функции у = 5х2 — 7х + 2 в точке с абсциссой х0 = 2.
Решение
Тангенс наклона касательной, проведенной к графику функции, — это производная функции в данной точке:
tgα = y' = 10x — 7; y'(2)= 10 · 2 — 7 = 7.
Ответ: 7.
Пример 10.
В точке А графика функции у = -х2 + 4х + 11 проведена касательная к нему, параллельная прямой у = 1 — 2х. Найти сумму координат точки А.
Решение
В уравнении касательной у = 1 — 2х, k = -2, а значит, производная функции равна -2: y' = -2x + 4; -2x + 4 = -2; -2х = -6; х = 3, тогда у(3) = -32 + 4 · 3 + 11 = 14. Сумма координат точки А: 3 + 14 = 17.
Ответ: 17.
Пример 11.
На рисунке изображен график функции у = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной функции f(x) в точке х0.
Решение
1-й способ
По геометрическому смыслу производной f'(x0) = k = tgα, значит, чтобы найти f'(x0), найдем k — угловой коэффициент касательной. Для этого найдем координаты двух точек на касательной A(3; 2) и B(0; -7) и подставим их в формулу:
k = (y2 — y1) / (x2 — x1) : k = (-7 — 2) / (0 — 3) = -9 : (-3) = 3.
2-й способ
Найдем производную как тангенс угла наклона касательной. В прямоугольном треугольнике АВС: tgA = ВC / АС = 6 / 2 = 3.
Ответ: 3.
Пример 12.
На рисунке изображен график функции у = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной функции f(x) в точке х0.
Решение
1-й способ
По геометрическому смыслу производной f'(x0) = k = tgα, значит, чтобы найти f'(x0), найдем k — угловой коэффициент касательной. Для этого найдем координаты двух точек на касательной A(4; -3) и B(1; 6) и подставим их в формулу k = (y2 — y1) / (x2 — x1):
k = (6 — (-3)) / (1 — 4) = 9 : (-3) = -3.
2-й способ
Найдем производную как тангенс угла наклона касательной. В прямоугольном треугольнике АВС: tgA = ВC / АС = 9 / 3 = 3. Учитывая факт, что прямая убывающая, т.е. k < 0, то получим k = -3.
Ответ: -3.
Пример 13.
Прямая у = -5х — 11 является касательной к графику функции у = х3 + 7,5х2 + 7х — 6. Найти абсциссу точки касания. Если их несколько, то их сумму.
Решение
В уравнении касательной у = -5х — 11, k = -5, а значит, производная функции равна -5. Найдем производную функции и приравняем ее к -5: k = y' = 3x2 + 15х + 7; 3x2 + 15х + 7 = -5; 3x2 + 15х + 12 = 0| : 3; x2 + 5х + 4 = 0; х1 = -1; х2 = -4. Сумма точек: -1 + (-4) = -5.
Ответ: -5.
