Математика: Пределы функций

Пределы функций

«Математический анализ» — серьезный раздел высшей математики. «Анализируют» здесь довольно тонкие моменты: как ведет себя функция не только в целом, в своей области определения (глобальный подход), но и около конкретной точки (локальный поход). Такой анализ практически всегда связан с понятием предела функции. Изучение в дальнейшем производной основано на понятии предела, поэтому так важно разбираться в данной теме.

Определение и свойства пределов функции

Функция f (x) имеет предел A в точке x₀, если для всех значений x, достаточно близких к x₀ (в окрестности U(x₀)), значение f (x) близко к A. При этом x₀ может не принадлежать области определения функции D(f) , хотя окрестность точки x₀ U (x₀) принадлежит D(f). На графике это выглядит как выколотая точка.

Обозначение:

или:

Рассмотрим с помощью некоторых известных графиков функций понятие предела на бесконечности.

функция	x → -∞	x → +∞	x → 0
f (x) = x²	→ +∞	→ +∞	→ 0
f (x) = 1 / x	→ 0	→ 0	→ +∞, -∞
f (x) = x³	→ -∞	→ +∞	→ 0

Прямая y = b является горизонтальной асимптотой графика функции y = f (x), если выполняется одно из равенств:

(рис. 1 Рис. 1. Горизонтальная асимптота )

или

Прямая x = a является вертикальной асимптотой графика функции y = f (x), если выполняется одно из равенств:

(рис. 2 Рис. 2. Вертикальная асимптота )

или

Прямая y = ax + b является наклонной асимптотой графика функции y = f (x), если выполняется одно из равенств:

(рис. 3 Рис. 3. Наклонная асимптота )

или

Пример.

По графику y = f (x) найти:

а)

б)

в)

г)

Свойства пределов функции

Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:
Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:

Аналогично предел разности двух функций равен разности пределов этих функций.
Постоянный коэффициент можно выносить за знак предела:
Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций:
Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

Замечание.

Принято считать, что

Следующие пределы считают неопределенностью: . Если в примере встретилась неопределенность, то надо найти пути для ее устранения. Общие правила:

1) если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида или , то для решения нужно разложить числитель и знаменатель на множители или разделить на максимальную степень числителя (или знаменателя) и числитель и знаменатель;

2) если же в числителе или в знаменателе находятся иррациональные выражения и имеется неопределенности вида или , то для решения надо избавляться от иррациональности, помножив и числитель, и знаменатель на сопряженное выражение;

3) если же в числителе или в знаменателе находятся тригонометрические выражения и имеется неопределенности вида или , то для решения используют формулу замечательного предела

Вычисление пределов функции

Пример 1.

Найти предел функции:

Пример 2.

Найти предел функции:

Пример 3.

Найти предел функции:

Пример 4.

Найти предел функции:

Пример 5.

Найти предел функции:

Пример 6.

Найти предел функции:

Пример 7.

Найти предел функции:

Пример 8.

Найти предел функции:

Пример 9.

Найти предел функции:

Пример 10.

Найти предел функции:

Непрерывность функции

Мы интуитивно понимаем, что если функция непрерывна, то мы можем ее нарисовать, не отрывая карандаша от листа бумаги.

Функция у = f (x) называется непрерывной, если она непрерывна в каждой точке своей области определения.

Чтобы понять, что такое непрерывность функции в целом, сначала надо разобраться, что такое непрерывность функции в точке.

Функция у = f (x) называется непрерывной в точке х = с, если предел функции в точке х = с равен значению функции в этой точке:

Т.е. должны выполняться одновременно три условия:

1) функция определена и в самой точке х = с и в некоторой окрестности этой точки, причем U(с) ϵ D(f);

2) существует ;

3) A = f(c).

Заметим, что в случае непрерывной функции в точке x = c, на графике данная точка выколотой быть не может.

Для иллюстрации, как работает данное определение, рассмотрим три функции (см. табл.). Все три условия определения выполняются только у первой функции у = х + 1. У второй — не выполняется третье условие, а у третьей функции — первое.