В данном разделе рассмотрим задачи на возрастание
и убывание функции, в которых не надо вычислять производные.
Функцию у = f(x) называют убывающей на промежутке, если для любых x1 и x2 принадлежавших этому промежутку, из условия x2 > x1 следует, что f(x2) < f(x1).
Функцию у = f(x) называют возрастающей на промежутке, если для любых x1 и x2, принадлежавших этому промежутку, из условия x2 > x1 следует, что f(x2) > f(x1).
Т.е. положительному приращению аргумента ∆х = x2 — x1 > 0 соответствует положительное приращение функции ∆f = f(x2) — f(x1) > 0. Значит, 
Отсюда 
Аналогично доказывается и для убывающей функции. Итак, получили правило:
Если на промежутке производная функции положительна, то функция возрастает.
Если на промежутке производная функции отрицательна, то функция убывает.
Точки области определения функции, в которых производная равна нулю, называются стационарными точками.
Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками.
Если при переходе через критическую точку х0 ϵ D(f), производная функции меняет знак с «+» на «-», то х0 — точка локального максимума функции.
Если при переходе через критическую точку х0 ϵ D(f), производная функции меняет знак с «-» на «+», то х0 — точка локального минимума функции.
Пример 1.
Определить по графику промежутки возрастания функции.
Решение
Если функция возрастает, то при движении по графику слева направо ординаты увеличиваются. Следовательно, функция возрастает на отрезках [-6; 0] U [6; 9].
Ответ: [-6; 0] U [6; 9].
Пример 2.
Определить по графику промежутки убывания функции.
Решение
Если функция убывает, то при движении по графику слева направо ординаты уменьшаются. Следовательно, функция убывает на отрезке [-1; 2].
Ответ: [-1; 2].
Пример 3.
Укажите график возрастающей функции.
Ответ: 3.
Пример 4.
Укажите график убывающей функции.
Ответ: 4.
Пример 5.
Указать интервалы возрастания функций, графики которых представлены на рисунках:
Ответ:
1) [-5; 1] U [3; 5];
2) [-3; 0]U[3; 6];
3) [-5; 0) U (0; 5];
4) [-3; -2] U [2; 3] U [4; 5].
Пример 6.
Определить по графику функции у = х4 — х3 + bx + c знаки коэффициентов b и c.
Решение
Заметим, что с = f(0), следовательно, с > 0.
Также заметим, что b = f'(0), и, следовательно, b < 0, так как на интервале, содержащем точку 0, функция убывает.
Ответ: с > 0, b < 0.
Пример 7.
Определить по графику производной функции у = f'(x) точку максимума.
Решение
Если при переходе через критическую точку х0 ϵ D(f) производная функции меняет знак с «+» на «-», то х0 — точка локального максимума функции.
Критическими точками функции являются точки -7, -3, 2, 5. Производная меняет знак с «+» на «-» в точке х0 = 2.
Ответ: 2.
Пример 8.
Указать интервалы убывания функции, если задан график ее производной.
Решение
Если непрерывная функция убывает на множестве, то ее производная не больше нуля (график ниже оси ОХ). Поэтому, функция убывает на [-8; -3] U [2; 5].
Ответ: [-8; -3] U [2; 5].
Пример 9.
Определить по графику функции у = kx + b знаки коэффициентов k и b.
Ответы:
1) k < 0, b > 0;
2) k > 0, b > 0;
3) k = 0, b > 0;
4) k < 0, b < 0.
Пример 10.
Определить по графикам функции у = ax2 + bx + c, указанных на рисунках, знаки коэффициентов a, b, c и дискриминанта D.
Решение
1) Ветви параболы вниз, значит a < 0. Коэффициент с найдем как у(0) = с, очевидно, c > 0. Если парабола пересекает ось ОХ в двух точках, то дискриминант положительный. Коэффициент b найдем из формулы для, заметим, отрицательной абсциссы вершины параболы: 
Аналогично рассуждают и в 2) — 4).
Ответы:
1) a < 0, b > 0, c > 0, D > 0;
2) a > 0, b < 0, c = 0, D > 0;
3) a > 0, b > 0, c > 0, D = 0;
4) a > 0, b = 0, c > 0, D < 0.
Пример 11.
Определить точку минимума функции у = f (x), если дан график ее производной. Если таких точек несколько, то найти их сумму.
Решение
Если при переходе через критическую точку х0 ϵ D(f) производная функции меняет знак с «-» на «+», то х0 — точка локального минимума функции.
Критическими точками функции являются точки -7, -3, 2, 5. Производная меняет знак с «-» на «+» в точках -3 и 5. Значит ответ -3 + 5 = 2.
Ответ: 2.
Пример 12.
Определить точку максимума функции у = f (x), если дан график ее производной. Если таких точек несколько, то найти их произведение.
Решение
Если при переходе через критическую точку х0 ϵ D(f) производная функции меняет знак с «+» на «-», то х0 — точка локального максимума функции.
Критическими точками функции являются точки -7,4; 1; 4. Производная меняет знак с «+» на «-» в точке х0 = 1.
Ответ: 1.
Пример 13.
На рисунке изображен график производной функции f (x), определенной на интервале (-3; 8). Найдите промежутки убывания функции f (x). В ответе укажите сумму целых чисел, входящих в эти промежутки.
Решение
Функция убывает на тех промежутках, на которых график производной находится ниже оси ОХ. Это примерно такие промежутки:
(-1,5; 4,5), (6,5; 8). Количество целых точек, входящих в эти промежутки, — 7. Найдем сумму этих точек: -1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 7 = 16.
Ответ: 16.
Пример 14.
На рисунке изображен график производной функции f (x), определенной на интервале (-7; 5). Найдите точку экстремума функции f (x), принадлежащей отрезку [-6; 4].
Решение
Производная равна нулю в точке х = -3. В этой точке производная меняет знак с «+» на «-», значит х = -3 — точка локального максимума.
Ответ: -3.
Пример 15.
На рисунке изображен график производной функции f (x), определенной на интервале (-3; 8). Найдите количество точек максимума функции f (x), принадлежащих отрезку [-2; 7].
Решение
График функции в трех точках пересекает ось ОХ. И только в двух из них производная меняет знак с «+» на «-».
Ответ: 2.
Пример 16.
На рисунке изображен график производной функции f (x), определенной на интервале (-11; 3). Найдите промежутки возрастания функции f (x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Решение
Функция возрастает на тех промежутках, на которых график производной расположен выше оси ОХ. Это промежутки: (-11; -10), (-7; -1), (2; 3). Длина наибольшего из них равна -1 — (-7) = 6.
Ответ: 6.
Пример 17.
Найти множество значений функции:
Схема решения
-
Найти искомое множество решений.
Решение
-
Множество значений логарифмической функции — вся числовая прямая, т.е. E(lnx) = R. Поэтому
-
По свойствам неравенств
— убывающая и непрерывная функция, то
и 
Ответ: [-1; +∞).
