Объединение замкнутой ломаной и ее внутренней области называют многоугольником.

Саму ломаную называют границей многоугольника, а ее внутреннюю область — внутренней областью многоугольника.

Звенья границы многоугольника называются сторонами многоугольника, а вершины — вершинами многоугольника.

Отрезок, соединяющий две не соседние вершины многоугольника, называют его диагональю.

Многоугольник называют выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону.

Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны.

Центром правильного многоугольника называется точка, равноудаленная от всех его вершин и всех его сторон.

Центральным углом правильного многоугольника называется угол, под которым видна сторона из его центра.

Соотношения в многоугольниках:

• все правильные многоугольники подобны друг другу;

• сумма углов любого выпуклого многоугольника равна 180°(n — 2);

• сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника, взятых по одному у каждой вершины, равна 360°;

• периметры подобных многоугольников относятся, как их сходственные стороны, и это отношение равно коэффициенту подобия;

• площади подобных многоугольников относятся, как квадраты их сходственных сторон, и это отношение равно квадрату коэффициента подобия.

Сумма противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна 180°.

Четырехугольник можно описать вокруг окружности, если суммы длин противоположных сторон равны.

Описанная окружность многоугольника — окружность, содержащая все вершины многоугольника. Центром является точка (принято обозначать O) пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника (рис. 1 ).

Как следствие: если рядом с n-угольником описана окружность, то все серединные перпендикуляры к его сторонам пересекаются в одной точке (центре окружности).

Вокруг любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.

Вписанный простой (без самопересечений) четырехугольник по определению является выпуклым.

Вокруг выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его внутренних противоположных углов равна 180°.

Можно описать окружность вокруг:

• любого прямоугольника (частный случай квадрат);

• любой равнобедренной трапеции.

У четырехугольника, вписанного в окружность, произведение длин диагоналей равно сумме произведений длин пар противоположных сторон:

|AC| · |BD| = |AB| · |CD| + |BC| · |AD|

Произвольный выпуклый четырехугольник

(d₁, d₂ — диагонали; φ — угол между ними; S — площадь):

Описанный многоугольник

(p — полупериметр; r — радиус вписанной окружности):

Правильный многоугольник

(a_n — сторона правильного n-угольника; R — радиус описанной окружности; r — радиус вписанной окружности):

Окружность называется вписанной в выпуклый многоугольник, если она лежит внутри данного многоугольника и касается всех прямых, проходящих через его стороны.

Если в данный выпуклый многоугольник можно вписать окружность, то биссектрисы всех углов данного многоугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.

Радиус вписанной в многоугольник окружности равен отношению его площади к полупериметру.

Во всяком описанном четырехугольнике середины диагоналей и центр вписанной окружности лежат на одной прямой (теорема Ньютона). На ней же лежит середина отрезка с концами в точках пересечения противоположных сторон четырехугольника. Эта прямая называется прямой Гаусса.

Центр вписанной в четырехугольник окружности — точка пересечения высот треугольника с вершинами в точке пересечения диагоналей и точках пересечения противоположных сторон (теорема Брокара).

Так как суммы противоположных сторон равны:

AВ + СD = 7 + 8 = 15 cм,

BС + AD = 9 + 6 = 15 cм, то в него можно вписать окружность.

Ответ: вписать окружность можно.

Так как суммы противоположных углов не равны:

,

то вокруг такого четырехугольника нельзя описать окружность.

Ответ: описать окружность нельзя.

1. Проведем серединные перпендикуляры к основаниям Н и К, тогда центр окружности О лежит на прямой НК.

2. АО = ОВ = R. Точка О делит отрезок НК на две части: пусть НО = х, тогда ОК = 8 — х.

3. АО2 = АК2 + КО2; ОВ2 = ВН2 + НО2;

   так как ОА2 = ОВ2, получим:

   АК2 + КО2 = ВН2 + НО2

   

   

   

   

   

   

   

   

Ответ: OB = 10,625

Дано: ромб, радиус вписанной окружности — R, BD > r в 4 раза.

Найти: S_ABCD

1. Пусть OE = R, BD = 4OE = 4R

2. 

3. 

4. 

Ответ: 

Дано: ABCD — равнобедренная трапеция, r = 4, AB = 10

Найти: S_ABCD

1. AB = CD = 10 по условию.

2. AB + CD = AD + BC по свойству вписанной окружности.

3. AD + BC = 10 + 10 = 20.

4. FE = 2r = 2 · 4 = 8.

5. 

Ответ: S_ABCD = 80.

1. Пусть , тогда по условию

2. 

3. 

4. 

Ответ: .

Перейти к выполнению теста: Тест. Многоугольники. Правильные многоугольники. Вписанные и описанные окружности правильного многоугольника