Трапеция
— четырехугольник, у которого ровно одна пара противолежащих сторон параллельна (рис. 1 
).
Параллельные стороны называются основаниями трапеции.
Две другие стороны называются боковыми сторонами.
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.
Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.
Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой (или равнобедренной).
Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.
Свойства трапеции:
-
средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме;
-
параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки;
-
у равнобокой трапеции углы при основании равны;
-
у равнобокой трапеции диагонали равны.
-
если трапеция равнобокая, то около нее можно описать окружность.
-
если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в нее можно вписать окружность.
-
в трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и продолжения боковых сторон находятся на одной прямой.
-
отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований трапеции.
Площадь равнобедренной трапеции, диагонали которой взаимно перпендикулярны, равна квадрату ее высоты: 
.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
Трапеция:
a, b — основания; h — высота или расстояние между ними; l — средняя линия трапеции.
,где O — угол между диагоналями; l — средняя линия трапеции.
Пример 1.
Меньшее основание равнобедренной трапеции равно 6. Высота трапеции равна 10. Тангенс острого угла равен 2. Найдите большее основание.
Решение
По условию задачи BC = 6, ВH = 10, tgA = 2.
Выполним дополнительно построение: проведем вторую высоту CM.
Рассмотрим основание трапеции AD. Его длина складывается из длин отрезков: AD = AH + HM + MD. Обратим внимание, что так как трапеция равнобедренная, то AH = MD, кроме этого ВС = HM.
Переходим к использованию данных задачи: AD = 2x + 6, где x — длина отрезка AH. Так как tgA = 2, то 
(тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету). Следовательно, 
.
Окончательно получаем AD = 2x + 6 = 16.
Ответ: 16
Пример 2.
На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см × 1 см изображена трапеция. Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.
Решение
Обратимся к рисунку. Следует заметить, что площадь выделенной фигуры можно представить в виде суммы площадей квадрата (располагается слева) и прямоугольного треугольника (располагается справа).
Площадь квадрата 
, где а — длина стороны квадрата. Площадь прямоугольного треугольника 
, где а и b — катеты прямоугольного треугольника.
Переходим к вычислительной части решения задачи. 
. Исходя из рисунка а = 5 см, b = 4 см. Следовательно, 
.
Ответ: 35
Пример 3.
Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты (2; 3), (10; 3), (5; 8), (3; 8).
Решение
Воспользуемся формулой нахождения площади трапеции: 
, где a, b — длины оснований трапеции, h — высота трапеции. Обратимся к иллюстрации. Вычислим а = 10 — 2 = 8, аналогично b = 5 — 3 = 2. Мы воспользовались приемом нахождения длинны отрезка в системе координат. Вычислим высотку трапеции: h = 8 — 3 = 5.
.Ответ: 25
Пример 4.
Основания трапеции равны 10 м и 31 м, а боковые стороны — 20 м и 13 м. Найдите высоту трапеции.
Решение
-
HK = BC = 10 м
-
Пусть BH = CK = x, AH = y, тогда KD = 21 — y
-
По теореме Пифагора:
x2 + y2 = 132
x2 + (21 — y)2 = 202
x2 + y2 = 169
x2 + 441 — 42y + y2 = 400
441 — 42y = 231
42y = 210
y = 5
AH = 5 м
-
По теореме Пифагора:
BH2 = AB2 — AH2
BH2 = 132 — 52
BH2 = 169 — 25
BH2 = 144
BH = 12
Ответ: BH = 12
