Математика: Треугольник

Треугольник

Вспомним основные определения и формулы планиметрии, относящиеся к понятию «треугольник».

В произвольном треугольнике.

Медианой треугольника ()называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Длина медианы треугольника выражается формулой:

Длина стороны треугольника через медианы выражается формулой:

Биссектрисой треугольника ()называют отрезок прямой, заключенной между вершиной и точкой ее пересечения с противоположной стороной, которая делит угол пополам.

Длина биссектрисы треугольника выражается формулой:

Высота треугольника () – это отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины треугольника на противоположную сторону, или на ее продолжение.

Длина высоты:

Признаки равенства треугольников:

по двум сторонам и углу между ними;
по стороне и двум прилегающим к ней углам;
по трем сторонам.

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, против большего угла лежит большая сторона.

(Неравенство треугольника). У каждого треугольника сумма двух сторон больше третьей стороны.

Внешним углом треугольника ABC при вершине A называется угол, смежный углу треугольника при вершине A.

Сумма внутренних углов треугольника:

сумма любых двух углов треугольника меньше ;
в каждом треугольнике два угла острые;
внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним;
сумма углов треугольника равна ;
внешний угол треугольника равен сумме двух других углов, не смежных с ним;
сумма острых углов прямоугольного треугольника равна .

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон треугольника называется средней линией треугольника.

Средняя линия треугольника обладает свойством – она параллельна основанию треугольника и равна ее половине.

Средняя линия треугольника отсекает от треугольника ему подобный треугольник.

Площадь отсекаемого треугольника относится к площади основного треугольника в отношении 1:4.

Свойства серединного перпендикуляра отрезка:

точка лежащая на серединном перпендикуляре одинаково удалена от концов отрезка;
любая точка, одинаково удаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре.

Три прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.

Свойства биссектрисы угла:

любая точка, лежащая на биссектрисе угла, одинаково удалена от сторон угла;
любая точка, одинаково удаленная от сторон угла, лежит на биссектрисе угла.

Биссектриса делит сторону треугольника на отрезки, пропорциональные двум другим его сторонам.

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.

Теорема косинусов. В любом треугольнике, квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон без их удвоенного произведения на косинус угла между ними:

Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противоположных углов:

где R — радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Пусть a, b, c — стороны; — противолежащие им углы; p — полупериметр; R — радиус описанной окружности; r — радиус вписанной окружности; S — площадь; — высота, проведенная к стороне a.

Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, опущенную на эту сторону (или половине произведения сторон на синус угла между ними).

— формула Герона;

где r — радиус вписанной окружности, R — радиус описанной окружности.

Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол. В прямоугольном треугольнике сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой. Остальные две стороны, называются катетами.

Катет прямоугольного треугольника есть средняя пропорциональная величина между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу:

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу: или .

Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

В прямоугольном треугольнике, медиана, проведенная к гипотенузе, делит треугольник на два равновеликих треугольника.

Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике

Прямоугольный треугольник.

a, b — катеты; c — гипотенуза; — проекции катетов на гипотенузу:

Свойства сторон и углов прямоугольного треугольника:

углы, противолежащие катетам — острые;
гипотенуза больше любого из катетов;
сумма катетов больше гипотенузы.

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

по катету и острому углу;
по двум катетам;
по гипотенузе и катету;
по гипотенузе и острому углу.

Треугольник называют равнобедренным, если у него две стороны равны.

Свойства равнобедренного треугольника:

в равнобедренном треугольнике углы при основании равны;
если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный;
в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой;
если в треугольнике медиана и биссектриса (или высота и биссектриса, или медиана и высота), проведенная из какой-либо вершины, совпадают, то такой треугольник равнобедренный.

Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним. В равностороннем треугольнике все углы равны . Каждая из трех высот является также биссектрисой и медианой.

Равносторонний треугольник:

Существование окружности, описанной около треугольника:

все три серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке и эта точка является центром описанной окружности. Описанная около треугольника окружность всегда существует и она единственна;
центром описанной окружности прямоугольного треугольника является середина гипотенузы.

Существование вписанной в треугольник окружности:

все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке и эта точка является центром вписанной окружности;
вписанная в треугольник окружность всегда существует и она единственна.

Признаки подобия треугольников:

по двум углам;
по двум пропорциональным сторонам и углу между ними;
по трем пропорциональным сторонам.

Признаки подобия прямоугольных треугольников:

по острому углу;
по пропорциональным катетам;
по пропорциональным катету и гипотенузе.

Пример 1.

В треугольнике ABC угол C равен , AB=10, BC=8. Найдите cosA.

Решение.

Для нахождения cosA необходимо воспользоваться определением косинуса острого угла прямоугольного треугольника. В рассматриваемом треугольнике , где АС — прилежащий катет, АВ — гипотенуза.

Вычислим катет АС. Для этого применим теорему Пифагора: , тогда , тогда .

Окончательно получаем .

Ответ: 0,6.

Пример 2.

На клетчатой бумаге с клетками размером изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

Решение.

Воспользуемся формулой площади треугольника через сторону и высоту, проведенную к стороне: , где а — сторона, — высота, проведенная к стороне а. Данная задача имеет следующую особенность: высота, проведенная из правой вершины треугольника располагается вне самого треугольника. Однако и в данном случае будет справедлива формула .

Обратимся к рисунку: высота треугольника равна 5 см (располагается в данном случае вертикально и равна пяти клеткам), сторона (основание, располагается горизонтально) равна 6 см.

Вычислим далее площадь треугольника: см.

Ответ: 15.

Пример 3.

Решение.

Воспользуемся формулой площади треугольника через сторону и высоту, проведенную к стороне: , где а — сторона, — высота, проведенная к стороне а.

Анализируя рисунок, заметим, что высота треугольника равна 4 см (располагается в данном случае вертикально и равна четырем клеткам), сторона (основание, располагается горизонтально) равна 9 см.

Переходим к вычислению площади: см.

Ответ: 18.

Пример 4.

Площадь треугольника ABC равна 30 см². На стороне AC взята точка D так, что AD:DC=2:3. Длина перпендикуляра DE, проведенного на сторону BC, равна 9 см. Найти BC.

Решение.

Проведем BD (см. рис.); треугольники ABD и BDC имеют общую высоту BF; следовательно, их площади относятся как длины оснований, т.е.:

откуда

С другой стороны или , откуда BC=4 см.

Ответ: BC=4 см.

Пример 5.

В равнобедренном треугольнике высоты, проведенные к основанию и к боковой стороне, равны 10 и 12 см, соответственно. Найти длину основания.

Решение.

В ABC имеем AB=BC, , , BD=10 см и AE=12 см (см. рис.). Пусть Прямоугольные треугольники AEC и BDC подобны (угол C общий); следовательно, или

Применяя теорему Пифагора к BDC, имеем , т.е. .

В итоге, мы получили систему уравнений:

Решая эту систему, получим . Итак AC=15 см.

Ответ: AC=15 см.

Пример 6.

В треугольнике ABC, AВ=5 см, равен . Найти радиус описанного круга.

Решение.

По теореме синусов имеем .

Значит , т.е. .

Последовательно находим , т.е. см.

Ответ: см.

Пример 7.

Внутри правильного треугольника со стороной a расположены три равные окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника и двух других окружностей. Найти площадь части треугольника, расположенной вне этих окружностей.