При решении логарифмических уравнений, так же, как в случае иррациональных уравнений, возможно появление посторонних корней. Причина их появления — расширение области определения исходного уравнения. Поэтому и проверка корней логарифмического уравнения осуществляется либо непосредственно по предварительно найденной области определения, либо по условиям её задающим (подстановкой в соответствующую систему неравенств). Заметим, что иногда удобно осуществить проверку и непосредственной подстановкой найденных корней в исходное логарифмическое уравнение. Это, конечно же, допустимо. Естественно, что при решении логарифмических уравнений возможно и следование стратегии равносильных преобразований. Далее мы рассмотрим примеры решения разного рода.

Расширение области определения при решении логарифмических уравнений связано, как правило, с двумя обстоятельствами:

а) преобразование потенцирования («отбрасывания» логарифмов, замена уравнения уравнением );

б) использование «справа — налево» формул:

1. 

2. 

3. 

4. 

Область определения левой части этих формул может быть шире области определения правой их части.

Заметим, что применение этих формул «слева — направо» вообще следует избегать, т.к. это может привести к сужению области определения уравнения и потере корней.

Будем представлять правую часть уравнения последовательно в виде логарифмов с основаниями 4, 2 и 3 и проводить преобразование потенцирования:

Проверим найденное значение непосредственной подстановкой в исходное уравнение:

Мы пришли к верному числовому равенству. Таким образом,  - единственный корень данного уравнения.

Ответ: 41.

Представим 1 как и преобразуем левую и правую части уравнения исходя из свойств логарифмов:

потенцируя уравнение, получаем:

.

Решим это рациональное уравнение:

Осуществим проверку корней. Область определения исходного уравнения задается условиями: т.е. область определения: Оба корня, очевидно, принадлежат области определения. Таким образом, корни данного уравнения:

Ответ: .

Пусть тогда получаем систему уравнений:

Корни первого уравнения системы: Тогда исходное уравнение равносильно совокупности: т.е.

Потенцируя полученные уравнения приходим к выводу, что х = 9 или х =  Оба этих значения являются корнями данного уравнения, поскольку его область определения задается условием х + 1 >  0, т.е. х >  -1.

Ответ: 9;

Если в уравнении содержатся логарифмы с разными основаниями, то следует привести их к одному основанию, воспользовавшись формулами перехода к новому основанию логарифма:

В данном уравнении перейдем к логарифмам по основанию 2:

Последнее уравнение равносильно системе:

Корни первого уравнения системы Таким образом, имеем совокупность уравнений: которая равносильна системе

Откуда очевидно, что  - единственный корень данного уравнения.

Заметим, что применение формул перехода к новому основанию логарифма, как правило, приводит к изменению области определения уравнения. Поэтому, следует анализировать в ходе решения, как возможность, появления посторонних корней, так и возможность потери корней.

Ответ: 0,5.

Прежде всего, воспользуемся известным свойством логарифма и получим одинаковое для всех логарифмов логарифмируемое выражение:

Теперь воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма, получаем:

Далее имеем:

Корни второго уравнения системы: Следовательно, решение исходного уравнения свелось к решению совокупности:

Решим первое уравнение совокупности:

Аналогично, решая второе уравнение совокупности, получаем х = 4.

Найдем теперь область определения исходного уравнения и проведем проверку корней: т.е.

Ясно, что оба найденных значения х удовлетворяют области определения.

Наконец, следует проанализировать возможную потерю корней. Для этого выясним, когда наши преобразования приводили к сужению области определения уравнения. После перехода к новому основанию логарифма дальнейшее решение осуществляется при условии: и Дополнительное условие не имеет отношения к исходному уравнению, поэтому х = 1 — возможный потерянный корень. Подставив значение х = 1 в исходное уравнение, убеждаемся, что это действительно корень. Таким образом, корни исходного уравнения:

Ответ: .

Применяя при решении логарифмических уравнений формулы перехода к новому основанию целесообразней переходить к новому основанию не являющемуся выражением с переменной, а равному некоторому числу. Как правило, это позволяет избежать потери корней. Каким конкретно числом должно быть новое основание логарифмов всегда можно понять, проанализировав данное уравнение.

Так в рассмотренном выше примере, подходящим новым основанием логарифмов является число 2. Это следует из того, что все входящие в уравнения основания логарифмов имеют вид: где - целое число.

Далее, с учетом этого замечания оформим решение уравнения из примера 6 как схему равносильных переходов.

Еще раз следует отметить, что решение любого уравнения должно осуществляться не механически, а сознательно, с пониманием сущности всех преобразований, с обязательным анализом возможностей появления посторонних корней и потери корней. Если такой анализ непосредственно «вплетен» в ход решения, то наиболее действенно оформлять это решение схемой равносильных переходов. Хотя это и приводит, порой, к весьма громоздким записям. Громоздкости при записи решения уравнения в виде схемы равносильных переходов можно избежать следующим приемом: начать решение уравнения с нахождения области определения и затем при проведении решения соблюдать не «равносильность вообще», а «равносильность на области определения». Оформим решение уравнения из примера 6 с учетом этого приема.

Область определения этого уравнения (множество М):

М=

Далее, имеем:

Оформим также в виде равносильных переходов решения уравнений из следующих примеров. Эти уравнения (весьма распространенные в заданиях ЕГЭ, группа С), содержащие логарифмы, у которых и основания, и логарифмируемые выражения — выражения с переменной.

Область определения этого уравнения (множество М):

т.е.

Далее, имеем:

Ответ: 2.

Ответ: а) Ш; б) 1.

Перейти к выполнению теста: Тест. Логарифмические уравнения