Отношением двух чисел называется частное от деления одного числа на другое .

Отношение показывает, во сколько раз a больше b, или какую часть числа b составляет число a.

Пропорцией называется равенство двух отношений, т.е. . Числа а и у называются крайними членами, а числа х и b – средними членами пропорции.

Всякое целое число (например 1) составляет 100%. Его сотая часть 1:100 = 0,01. Следовательно, 1% от единицы составит 0,01.

Если в задаче величина в целом неизвестна, а известны только ее части, то она принимается за 100% или за 1 (единицу). Когда целое состоит из каких-то частей, то эти части составляют дроби, сумма которых равна целому (1). Пропорционально этим дробям часть целого можно взять и в процентах.

Если весь объем — 100%, то каждая часть (каждая дробь) составляет величину больше 0%, но меньше 100%. а сумма всех частей в процентах равна 100%. Процент какой-то величины — это часть (доля) этой же величины, поэтому, если 1 = 100%, то и каждая дробь (обыкновенная или десятичная) равна какому-то проценту от 1.

Для того чтобы записать проценты десятичной дробью или натуральным числом, нужно число, которое стоит перед знаком %, разделить на 100.

Для того чтобы выразить число в процентах, нужно его умножить на 100%.

• (Основное): произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов, т.е. если , то .

• Обратно, числа a, b, x, y составляют пропорцию , если .

• Если в пропорции поменять местами крайние, средние члены или те и другие одновременно, то получим верную пропорцию.

• Чтобы найти неизвестный средний (или крайний) член пропорции, надо произведение крайних (средних) членов разделить на известный средний (крайний) член пропорции: ; .

Прямая пропорциональность. Прямая пропорциональность - это функция, заданная формулой y=kx или , где k≠ 0, где k - коэффициент пропорциональности, y и x - пропорциональные переменные.

Прямо пропорциональные величины. Две величины называются прямо пропорциональными, если с увеличением значения одной из них в несколько раз значение другой увеличивается во столько же раз.

Обратная пропорциональность. Обратная пропорциональность - это функция, заданная формулой или , где , , где k - коэффициент пропорциональности, y и x - обратно пропорциональные переменные.

Обратно пропорциональные величины. Две величины называются обратно пропорциональными, если с увеличением значения одной из них в несколько раз значение другой уменьшается во столько же раз.

1. Чтобы разделить число пропорционально данным числам (разделить в данном отношении) надо разделить это число на сумму данных чисел и результат умножить на каждое из них.

   Например. Число 96 разделить в соотношении 3:5.

   Для решения этой задачи нужно знать: 1) число частей в двух искомых числах (3+5=8); 2) величину одной части (96:8=12); 3) величину каждого числа (12*3=36 и 12*5=60).

2. Чтобы разделить число на части, обратно пропорциональные данным числам, достаточно разделить это число на части прямо пропорциональные числам, обратным данным.

   Например. Разделим 27 обратно пропорционально числам 4 и 5.

   Разделить число 27 на части обратно пропорциональные числам 4 и 5 – это значит разделить его на числа, обратные данным, т.е. на числа и соответственно. Так как (1/4):(1/5) =5:4; тогда число 27 делится на части в отношении 5:4. Получим: 1) 4+5=9; 2) 27:9=3; 3) 3*5=15; 4) 3*4=12.

Задача 1. Нахождение процентов данного числа.

Чтобы найти а% от числа b, нужно проценты выразить в виде дроби: a/100 и число b умножить на эту дробь.

Например, 30% от 60 руб. составляют 0,3*60 = 18 (руб.).

Задача 2. Нахождение числа по его процентам.

Если известно, что a% числа x равно b, то число x находим по формуле x=(b/a)*100. Т.е. нужно проценты выразить в виде дроби и известное число b разделить на эту дробь.

Например, если 3% денежного вклада составляют 150 руб., то весь вклад равен 150/0,03 = 5000 (руб.).

Задача 3. Нахождение процентного отношения чисел.

Чтобы найти процентное отношение двух чисел a и b, надо отношение этих чисел умножить на 100, т.е. вычислить (a/b)*100%.

Например, если при плановом задании 60 автомобилей в день завод выпустил 90 автомобилей, то он выполнил задание на (90/60)*100% = 150%.

Задача 4. Увеличение на p%.

Если число a увеличено на p%, то оно увеличено в (1+p100) раз, то получится число a*(1+p100) .

Задача 5. Уменьшение на q%.

Если уменьшено на q%, 0≤ q≤ 100, то оно уменьшено в (1-p100) раз, то получаются число a*(1-p100).

Задача 6. Начисление простых процентов.

При многократном начислении простых процентов начисление делается по отношению к исходной сумме и представляет собой каждый раз одну и ту же величину: , где a - исходная сумма, S - наращенная сумма, p% - процентная ставка, n - число периодов начисления.

Задача 7. Начисление сложных процентов

При многократном начислении сложных процентов начисление каждый раз делается по отношению к сумме с уже начисленными ранее процентами: , где a - исходная сумма, S - наращенная сумма, p% - процентная ставка, n - число периодов начисления.

Видеолекция «Задачи на проценты, пропорции. Дроби и округление»:

Перейти к выполнению теста: Тест. Задачи на проценты, пропорции. Дроби и округление