Сегодня вы изучите вопросы

1. Вычисление площадей плоских фигур

2. Вычисление объема тел по площадям перпендикулярных сечений

3. Вычисление длины дуги плоской кривой

4. Вычисление площади поверхности вращения

5. Вычисление работы переменной силы

Изучив тему занятия, вы сможете

• найти площадь плоской фигуры;

• найти объем тела;

• найти величину работы переменной силы;

• вычислить длину дуги;

• вычислить площадь поверхности вращения;

Основные понятия

• определенный интеграл

• работы переменной силы

• длина дуги

• площадь поверхности вращения

• величина силы давления

Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной сверху линией , снизу линией , слева и справа прямыми соответственно (рис. 5.4).

Решение поставленной задачи сводится к вычислению площади заштрихованной фигуры на рисунке 5.4. Очевидно, эта площадь равна разности площадей и двух криволинейных трапеций и , каждая из которых вычисляется по известной формуле:

и .

Поэтому искомая площадь равна разности этих интегралов:

. (219)

По аналогии, для вычисления площади плоской фигуры, ограниченной справа линией слева линией снизу прямой сверху прямой (рис. 5.5), получим:

.

Решение. Строим графики заданных линий (рис. 5.6). Искомая площадь равна площади криволинейной трапеции ОАВС, которая по определению (занятие 12) равна определенному интегралу .

Здесь ; а = 0; b = 1.

Отсюда находим:

Решение. Строим графики заданных линий (рис. 5.7).

По формуле (219) искомая площадь равна:

, где , с = 1; d = 2:

.

Решение. Строим графики функций , (рис. 5.8).

Найдем абсциссы точек пересечения линий и . Для этого необходимо решить систему уравнений:

Имеем:

Искомая площадь равна площади заштрихованной плоской фигуры (рис. 5.8).

По формуле (219) искомая площадь равна:

.

Здесь  ; слева и справа искомая фигура ограничена соответственно прямыми и .

Отсюда находим:

Решение. Построим график функции, заданной уравнением (220). Найдем точки пересечения эллипса с осями координат: при ; при .

Уравнение эллипса задается функциями:

В силу симметрии эллипса относительно осей координат достаточно найти площадь ее четвертой (заштрихованной) части.

Имеем:

Таким образом, площадь эллипса равна:

(221)

Пример 5. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями , у = 0.

Решение. Находим точки пересечения параболы с осями координат:

Вершина параболы лежит на оси В (0; –4) (рис. 5.10).

Искомая площадь — площадь фигуры АВС, заштрихованная на рисунке, сверху ограничена прямой снизу линией слева прямой справа прямой

Отсюда по формуле (219) имеем:

Пусть замкнутое тело Т (рис. 5.11) ограничено слева плоскостью , справа — Пусть для любого значения задается площадь сечения, перпендикулярного оси Ох. Требуется найти объем V тела Т.

Отыскание объема V тела проведем по вышеизложенной схеме построения интегральной суммы. Разобьем отрезок [a; b] точками на n произвольных частей. В каждой части возьмем по произвольной точке ; найдем площадь перпендикулярного сечения. Объем части тела Т, ограниченного плоскостями , приближенно заменим объемом цилиндра с площадью основания и высотой . Аналогично поступая со всеми частями тела Т, получим:

. (222)

Точное выражение объема V тела Т получим предельным переходом в равенстве (222) при :

. (223)

По определению определенного интеграла равенство (223) переписывается так:

. (224)

Рассмотрим частный случай, когда тело Т получено вращением криволинейной трапеции вокруг оси (рис. 5.12).

В этом частном случае площадь перпендикулярного сечения равна площади круга, радиус которого равен ординате линии :

.

По формуле (224) имеем:

. (225)

. (226)

Фиксируем х в уравнении (226). Найдем уравнение полученной линии:

или

  (227)

Уравнение (227) в плоскости декартовых координат является уравнением эллипса, площадь которого по формуле (221) равна произведению на длины полуосей эллипса (227):

Следовательно, площадь Q(х) перпендикулярного к оси Ох сечения равна:

.

Так как объем V тела по площадям Q(x) перпендикулярного к оси Ох сечения определяется по формуле , то с учетом симметрии трехосного эллипсоида получим:

(228)

Отсюда, в частности, легко найти объем шара, для которого :

. (229)

Решение. Строим графики линий и у = 3х (рис. 5.14); находим абсциссы их точек пересечения, решив систему уравнений:

Искомый объем равен разности двух объемов: от вращения фигуры, ограниченной параболой , прямой х = 1 и осью Ох, и фигуры, ограниченной прямыми у = 3х, х = 1, у = 0 вокруг оси .

Как известно, объем тела вращения вокруг оси Ох определяется по формуле:

.

Отсюда находим, что искомый объем равен:

В декартовой системе координат Оху дана линия своим уравнением .

Пусть   — фиксированные точки линии . Требуется найти длину линии от точки А до точки В (рис. 5.15).

За величину длины дуги незамкнутой плоской кривой принимается предел длины ломаной, вписанной в эту дугу, при стремлении к нулю наибольшего звена.

Длину искомой дуги (так будем называть часть линии от точки А до точки В) найдем по известной схеме построения определенного интеграла.

Разделим отрезок [a; b] точками на n произвольных частей. Через точки деления отрезка [a; b] проведем прямые, параллельные оси Оу. Этими прямыми дуга AB разделится на n частей:

Возьмем i-ую часть отрезка [a; b]. Внутри i-ой части возьмем произвольную точку . Приближенно заменим длину дуги отрезком длины касательной, проведенной в точке , ограниченной прямыми .

Уравнением касательной в точке является

.

При ордината касательной равна:

.

При имеем:

.

Длину касательной, заключенной между прямыми найдем по координатам найденных точек , .

Аналогично поступим со всеми частями дуги ; исходя из этих предположений, будем иметь:

. (230)

Пусть . Переходя к пределу в приближенном равенстве (230) при , получим интегральную сумму:

. (231)

По определению определенного интеграла имеем:

. (232)

Остается доказать, что длина ломаной i-го звена и длина касательной на i-ом участке являются эквивалентными б.м.в. при .

Обозначим через l_i длину ломаной i-го звена.

Имеем:

; ;

так как при точка .

Решение. Длина дуги ОА параболы, по доказанному, определяется по формуле Здесь а = 0; ; . Найдем выражение подынтегральной функции:

= = .

Отсюда следует, что искомая длина дуги равна интегралу

Для вычисления последнего интеграла воспользуемся табличным интегралом

Отсюда находим:

(ед.).

В прямоугольной системе координат Оху дана гладкая линия своим уравнением , ограниченная прямыми и . Требуется найти площадь P поверхности, полученной от вращения дуги АВ вокруг оси (рис. 5.17).

По аналогии с предыдущими задачами, разобьем отрезок [a; b] на n произвольных частей точками

Через точки деления проведем плоскости, перпендикулярные оси Ох.

Этими плоскостями искомая площадь P разделится на n частей .

Найдем приближенное выражение для .

На отрезке возьмем произвольную точку . Найдем ординату точки линии . Через точку проведем касательную  — точки пересечения касательной с прямыми .

При вращении отрезка вокруг оси получим боковую поверхность усеченного конуса. Сделаем приближенную замену:

. (233)

Найдем элементы равенства (233).

Уравнение касательной таково:

. (234)

С помощью равенства (234) находим искомые ординаты касательной:

,

. (235)

Длину отрезка найдем по формуле :

(236)

Из равенств (233) — (236) следует, что

(237)

Поступая аналогично со всеми частями поверхности вращения, получим:

(238)

Из равенства (238) следует, что при (т.е. если за c_i взять середину отрезка []) слагаемое суммы (238) будет равно нулю.

Если обозначить через где , и перейти к пределу при , то получим  , что представляет интегральную сумму функции .

Окончательно находим, что:

. (239)

Решение. Найдем выражение подынтегральной функции:

.

Площадь поверхности вращения найдем по формуле (239):

.

Предварительно найдем ее компоненты. По условиям задачи:

а = 0; b = 1, = .

Отсюда находим:

Решение. Нам известно, что в безразмерных величинах .

Здесь: a = 3, b = 5; .

Отсюда находим, что искомая работа равна:

.

Решение. Согласно закону Гука, величина упругой силы, действующей на пружину, возрастает пропорционально растяжению пружины. Если за х принять длину растяжения, а за принять коэффициент пропорциональности, то величина упругой силы определяется по формуле: F = k ∙ x.

Найдем коэффициент пропорциональности из заданных условий задачи:

Отсюда находим, что н/м.

Искомая работа вычисляется по формуле: .

Здесь по условиям задачи: а = 0, b = 0,05 м, н/м.

Имеем:

1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

   , , , .

   , .

   ,

   , .

   , .

   , .

   , , , .

   , , , .

2. Вычислите объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями:

   , , .

   , .

   , , , .

   , , , , .

   , , .

3. Найдите длины дуг следующих линий:

   1)

   2)

   3)

   4)

4. Скорость движения точки задана равенством м/с.

   Найдите путь, пройденный точкой от начала движения до ее остановки.

5. Вычислите силу давления воды на вертикальную заслонку, закрывающую трубу, если труба, лежащая горизонтально, наполовину заполнена водой. Известно, что поперечным сечением трубы является круг диаметром 6 м.

6. Вычислите работу, которую надо затратить на сжатие пружины на 0.1 м, если для сжатия ее на 0.01 м нужна сила в 78 н.