Сегодня вы изучите вопросы

1. Дифференциал функции

2. Геометрический смысл дифференциала функции

3. Основные формулы дифференциалов

4. Инвариантность формы первого дифференциала

5. Производные и дифференциалы высших порядков

Изучив тему занятия, вы сможете

• найти дифференциалы функций;

• найти производные и дифференциалы высших порядков, заданных функций.

Основные понятия

• дифференциал функции и его геометрический смысл

• производные высших порядков

• дифференциалы высших порядков

Пусть на множестве Х задана функция , которая имеет в каждой ее точке производную:

. (113)

По теореме о существовании предела переменной имеем:

, где .

Отсюда находим:

. (114)

Приращение функции в произвольной точке в равенстве (114) представлено в виде суммы двух слагаемых, каждое из которых стремится к нулю при , т.е. является б.м.в. при . Однако второе слагаемое в правой части равенства (114) является б.м.в. более высокого порядка, чем первое, в точках, где производная отлична от 0.

Действительно, .

Следовательно, первое слагаемое, линейное относительно , является главной частью приращения дифференцируемой функции . Эта часть приращения функции называется дифференциалом функции и символически обозначается через :

(115)

Найдем дифференциал независимой переменной х:

Т.к. , то:

(116)

Из равенства (115) с учетом (116) имеем:

(117)

Из формулы (117) следует, что производную по Лейбницу можно рассматривать как дробь, где  — числитель, а f — знаменатель.

Следовательно, производную функции можно рассматривать как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной.

В приближенных вычислениях приращение функции заменяют ее дифференциалом Как было доказано выше, второе слагаемое (114) есть б.м.в. более высокого порядка, а следовательно, разность есть б.м.в. при .

Поэтому можно положить, что:

(118)

или

Отсюда находим, что:

. (119)

Формула (119) позволяет выразить приближенно новое значение функции через старое и дифференциал этой функции.

Например, пусть требуется найти приближенное значение корня . По форме заданной величины находится функция: .

Находим . Здесь х = 8; .

По формуле (119) находим:

Пусть функция дифференцируема на множестве Х; тогда на плоскости Оху график функции представляется гладкой линией L (в каждой точке этой линии имеется единственная касательная) (рис. 2.10).

Пусть М — произвольная точка графика функции .

Построим в точке М касательную к графику функции .

Пусть т.   — точка графика функции с абсциссой Сделаем дополнительные построения (см. рис. 2.10).

По рисунку 2.10, Найдем величину :

.

Т.к. , то:

. (120)

Правая часть равенства (120) есть выражение дифференциала функции .

Следовательно,

, (121)

т.е. левая часть равенства (121) есть приращение ординаты касательной. Отсюда краткое заключение.

Дифференциал функции геометрически представляет приращение ординаты касательной.

Пусть функции дифференцируемы на множестве Х. Найдем формулы дифференциалов для функций:

(последнее в точках, где ).

По определению дифференциала функции и формул дифференцирования имеем:

или .



или .



или .

В частности, если  — константа или  — константа, получим:

.

Найдем дифференциалы основных элементарных функций:

Из полученных равенств следует, что формулы дифференциалов аналогичны формулам для производных функции с той лишь только разницей, что вместо производных мы имеем дифференциалы .

Пусть функция дифференцируема на множестве Х. Дифференциал первого порядка этой функции, как известно, равен:

(122)

Пусть , где  — дифференцируемая функция на множестве Т, областью значений которой является множество Х. В этом случае переменная y является сложной функцией переменной t на множестве Т:

(123)

Найдем дифференциал сложной функции:

.

Мы видим, что форма первого дифференциала не изменилась. В этом и состоит инвариантность формы первого дифференциала.

Рассмотрим функцию Первая ее производная равна , т.е. тоже является функцией от х на множестве .

Найдем вторую ее производную:

.

Мы видим, что вторая производная также является функцией от х, которая, в свою очередь, может иметь производную, уже третьего порядка, и т.д.

Производной n-го порядка от функции называется производная от производной ()-го порядка:

.

В некоторых частных случаях иногда удается найти формулу для производной n-го порядка.

Например, пусть  

Пусть требуется найти дифференциал функции :

, т.е. дифференциал функции, есть, вообще говоря, тоже функция — поэтому, в свою очередь, может иметь дифференциал (дифференциал второго порядка):

Дифференциалом n-го порядка называется дифференциал от дифференциала (n — 1)-го порядка: .

По определению,

По аналогии:

(124)

Формулу (124) легко доказать методом полной математической индукции.

Пусть формула (124) справедлива для дифференциала

-го порядка, т.е.

. (125)

Покажем, что в этих предположениях она верна и для дифференциала (k + 1)-го порядка:

Из равенства (124) следует, что , т.е. n-ую производную, по Лейбницу, можно рассматривать как дробь, где  — числитель, а  — знаменатель.

Рассмотрим приложения изложенной теоремы.

Пусть S(х) — первоначальная площадь пластинки, а ∆S — приращение этой площади после нагревании.

По условию задачи .

Найдем приближенное приращение площади пластинки, заменив ее полным дифференциалом:

∆S ≈ ds = (x²)'dx = 2x ∙ dx = 2x ∙ ∆x.

По условию задачи х = 100 мм, ∆x = 0,1 мм.

Отсюда находим, что:

∆S ≈ 2 ∙ 100 мм ∙ 0,1 мм = 20 мм².

Для оценки погрешности вычисления найдем полное приращение по формуле:

∆S = (х + ∆x)² — х² = 2х ∙ ∆х + ∆х².

Следовательно, погрешность замены равна:

∆х² = (0,1 мм)² = 0,01 мм².

Последнее и есть неглавная часть приращения функции , равная

По определению дифференциала функции имеем:

Имеем:

Имеем:

Формула применительно к данной функции перепишется так:

Отсюда находим: .

В данном случае х + ∆x = 1,02, х = 1, ∆x = 0,02.

Следовательно, .

Имеем: или

Отсюда можно положить, что:

.

Данное утверждение можно доказать методом полной математической индукции.

1. Найдите дифференциал функции y = x³ в точке x = 0, если по определению дифференциала.

2. Найдите дифференциал функции по формуле :

   ;

   ;

   ;

   ;

   ;

   ;

   ;

   ;

   .

3. Найдите приближенное значение .

4. Найдите приближенное значение функций:

    

5. Найдите производные указанного порядка от заданных функций: