4.

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Теоретические сведения

Теоретические сведения

	Арифметическая прогрессия	Геометрическая прогрессия
Определение	Арифметической прогрессией an называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом d (d — разность прогрессий)	Геометрической прогрессией bn называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и тоже число q (q  — знаменатель прогрессии)
Рекуррентная формула	Для любого натурального n an + 1 = an + d	Для любого натурального n bn + 1 = bn ∙ q, bn ≠ 0
Формула n-ого члена	an = a1 + d ( n – 1)	bn = b1 ∙ qn - 1, bn ≠ 0
Характеристическое свойство
Сумма n-первых членов

Задание 1

В арифметической прогрессии (a_n ) a₁ = -6, a₂ = -8. Найдите двадцать второй член прогрессии.

Решение

По формуле n-ого члена:

a₂₂ = a₁ + d (22 - 1) = a₁ + 21 d

По условию:

a₁ = -6, значит a₂₂ = -6 + 21 d.

Необходимо найти разность прогрессий:

d = a₂ – a₁ = -8 – (-6) = -2

a₂₂ = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Ответ: a₂₂ = -48.

Задание 2

Найдите пятый член геометрической прогрессии: -3; 6;....

Решение

1-й способ (с помощью формулы n -члена)

По формуле n-ого члена геометрической прогрессии:

b₅ = b₁ ∙ q^{5 - 1} = b₁ ∙ q⁴ .

Так как b₁ = -3,

а

2-й способ (с помощью рекуррентной формулы)

Так как знаменатель прогрессии равен -2 (q = -2), то:

b₃ = 6 ∙ (-2) = -12;

b₄ = -12 ∙ (-2) = 24;

b₅ = 24 ∙ (-2) = -48.

Ответ: b₅ = -48.

Задание 3

В арифметической прогрессии (a_n ) a₇₄ = 34; a₇₆ = 156. Найдите семьдесят пятый член этой прогрессии.

Решение

Для арифметической прогрессии характеристическое свойство имеет вид .

Из этого следует:

.

Подставим данные в формулу:

Ответ: 95.

Задание 4

В арифметической прогрессии (a_n ) a_n = 3n - 4. Найдите сумму семнадцати первых членов.

Решение

Для нахождения суммы n-первых членов арифметической прогрессии используют две формулы:

.

Какую из них в данном случае удобнее применять?

По условию известна формула n-ого члена исходной прогрессии (a_n ) a_n = 3n - 4. Можно найти сразу и a₁ , и a₁₆ без нахождения d. Поэтому воспользуемся первой формулой.

Ответ: 368.

Задание 5

В арифметической прогрессии(a_n ) a₁ = -6; a₂ = -8. Найдите двадцать второй член прогрессии.

Решение

По формуле n-ого члена:

a₂₂ = a₁ + d (22 – 1) = a₁ + 21d.

По условию, если a₁ = -6, то a₂₂ = -6 + 21d. Необходимо найти разность прогрессий:

d = a₂ – a₁ = -8 – (-6) = -2

a₂₂ = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Ответ: a₂₂ = -48.

Задание 6

Записаны несколько последовательных членов геометрической прогрессии:

Найдите член прогрессии, обозначенный буквой x.

При решении воспользуемся формулой n-го члена b_n = b₁ ∙ q^{n - 1} для геометрических прогрессий. Первый член прогрессии. Чтобы найти знаменатель прогрессии q необходимо взять любой из данных членов прогрессии и разделить на предыдущий. В нашем примере можно взять и разделить на. Получим, что q = 3. Вместо n в формулу подставим 3, так как необходимо найти третий член, заданной геометрической прогрессии.

Подставив найденные значения в формулу, получим:

.

Ответ: .

Задание 7

Из арифметических прогрессий, заданных формулой n-го члена, выберите ту, для которой выполняется условие a₂₇ > 9:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Так как заданное условие должно выполняться для 27-го члена прогрессии, подставим 27 вместо n в каждую из четырех прогрессий. В 4-й прогрессии получим:

.

Ответ: 4.

Задание 8

В арифметической прогрессии a₁ = 3, d = -1,5. Укажите наибольшее значение n, для которого выполняется неравенство a_n > -6.

Решение

Воспользуемся формулой n-го члена.

a_n = a₁ + d (n – 1) > -6.

Подставим данные в условии значения в формулу:

3 – 1,5n + 1,5 > -6

6 + 4,5 > 1,5n

n < 7

Ответ: Наибольшее значение n = 6.

Задание 9

В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 108, а третьего и четвертого — 168,75. Найдите первых три члена прогрессии.

Решение

Составим систему уравнений:

 

Подставим b₁ во второе уравнение:

Тогда:

.

Задание 10

Произведение первого и пятого членов геометрической прогрессии равно 4, а частное от деления пятого члена на седьмой равно 9. Найдите четвертый член этой прогрессии.

Решение

Составим систему уравнений:

При .

При .

При получим те же значения: .

При .

При получим те же значения .