Уравнения подразделяются на несколько групп:

1) линейные уравнения;

2) квадратные уравнения;

3) дробно-рациональные уравнения;

4) уравнения высших степеней.

Корнем уравнения с одним неизвестным называют значение неизвестного, при котором уравнение обращается в верное равенство.

Уравнением с одним неизвестным x называют уравнение вида ax = b, где x — неизвестное, a и b — некоторые числа; a называют коэффициентом или переменной, b — свободным членом.

Квадратным уравнением с одним неизвестным x называют уравнение вида ax² + bx + с = 0, где a, b, с — некоторые числа (коэффициенты уравнения), причем a ≠ 0; aназывают первым (старшим) коэффициентом, b — вторым коэффициентом, c — свободным членом.

Если в квадратном уравнении хотя бы один коэффициентов равен 0 (кроме, конечно, коэффициента при x² ), то уравнение называют неполным квадратным уравнением.

Выражение вида D = b² – 4ac называют дискриминантом у квадратного уравнения ax² + bx + с = 0. По дискриминанту у квадратного уравнения определяют, сколько у него корней:

1) если D > 0, то уравнение имеет два различных корня;

2) если D = 0, то уравнение имеет один корень или два совпавших корня;

3) если D < 0, то уравнение корней не имеет.

Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два различных корня, которые вычисляются по формуле:

или

.

Если D = 0, то квадратное уравнение имеет один корень или два одинаковых корня.

.

Если D < 0, то квадратное уравнение корней не имеет.

Теорема Виета гласит, что если приведенное квадратное уравнение x² + px + q = 0 имеет корни, то сумма корней этого уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену, т.е. если x₁ и x₂  — корни уравнения x² + px + q = 0, то

Согласно обратной теореме Виета, если сумма двух чисел равна второму коэффициенту приведенного квадратного уравнения, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа являются корнями приведенного квадратного уравнения, т.е. если выполняются условия:

то x₁ и x₂  — корни уравнения x² + px + q = 0.

Решите уравнение: 8 – 2(6x + 1) = -2x - 3.

Раскроем скобки:

8 – 12x – 2 = -2x – 3.

Перенесем неизвестные влево, известные — вправо:

-12x + 2x = -3 + 2 – 8

-10 x = -9

x = 0,9.

Решите уравнение: .

Перенесем все слагаемые в левую часть:

.

Приведем слагаемые к общему знаменателю (x² - 4 разложим по формуле сокращенного умножения):

Раскроем скобки в числителе:

Данное уравнение можно представить в виде системы. В системе приравниваем числитель к нулю, а также делим его на 2. Знаменатель не равен нулю, так как на нуль делить нельзя:

Таким образом, решая квадратное уравнение, находим его корни: x₁ = 3, x₂ = -2. Так как -2 и 2 не входят в ОДЗ, корнем данного уравнения и ответом является только 3.

Следует обратить внимание, что иногда при разложении числителя по формуле сокращенного умножения не всегда получается общий знаменатель состоящий из двух скобок. Например:

.

Если в данном в примере разложить 9 – x² = (3 – x) ∙ (3 + x), то общий знаменатель будет состоять из 4-х скобок: (3 – x) ∙ (3 + x) ∙ (x – 3) ∙ (x + 3).

Таким образом, в исходном примере из знаменателя второй дроби выносим знак минус перед дробью, меняя тем самым знаки в знаменателе. Получим:

.

Теперь при разложении знаменателя второй дроби по формуле сокращенного умножения получаем: x² – 9 = (x – 3) ∙ (x + 3). Общий знаменатель будет состоять их двух скобок. Дальнейшее решение продолжается по рассмотренному выше алгоритму.

Решите уравнение: x³ – 6x² – 31x + 36 = 0.

Если данное уравнение имеет целый корень, то он является делителем числа 36. Подберем корень. Как правило, корнем является одно из чисел: -1, -2, -3, 1, 2, 3.

Проверка показывает, что число 1 является корнем данного уравнения (для этого подставили 1 вместо x).

Левая часть уравнения x³ – 6x² – 31x + 36 = 0 может быть представлена в виде:

(x – 1) ∙ P(x), где P(x) — многочлен второй степени.

Так как корень 1, делим уравнение на x - 1 (если корнем является отрицательное число, например, -1, то делим на x + 1).

Деление уравнения в столбик предполагает следующие этапы:

1) делим x³ на x, получаем x² ;

2) x² умножаем, как бы в обратную сторону, сначала на x, получаем x³ , затем на -1, получаем -x² (действия видны, когда из общего уравнения вычитаем x³ – x² );

3) получаем -5x² ;

4) сносим -31x, получаем выражение -5x² – 31x;

5) алгоритм повторяется: делим -5x² на x, получаем -5x;

6) умножаем -5x, как бы в обратную сторону, сначала на x, получаем -5x² , затем на -1, получаем 5x (действия видны, когда из выражения -5x² – 31x вычитаем -5x² + 5x), и так далее по алгоритму решения, пока не получим нуль.

В итоге исходное уравнение можно представить в виде:

x³ – 6x² – 31x + 36 = (x – 1) ∙ (x² – 5x – 36) = 0.

Находим корни квадратного уравнения:

x² – 5x – 36 = 0

x₁ = 9

x₂ = -4

Полученные значения и найденный в начале методом подбора корень 1 и будут корнями рассмотренного уравнения.

Ответ: -4; 1; 9.

Всякое значение неизвестного, при котором данное неравенство с неизвестным обращается в верное числовое неравенство, называется решением неравенства. Решить неравенство — значит найти все его решения или доказать, что их нет.

Неравенство вида ax + b > 0 (< 0, ≥ 0, ≤ 0), где x — неизвестное, a и b — некоторые действительные числа (a ≠ 0), называется неравенством первой степени, или линейным неравенством.

Неравенство вида ax² + bx + c > 0 (< 0, ≥ 0, ≤ 0), где a ≠ 0, называют неравенством второй степени с одним неизвестным, или квадратным неравенством.

a, b, с — действительные числа.

Если a > b и b > c, то a > c.

Если a > b и c — положительное число (c > 0), то a + с > b + c.

Если a > b и c — положительное число (c > 0), то ac > bc.

Если a > b и c — отрицательное число (c< 0), то ac < bc.

Решение квадратных неравенств ax² + bx + c > 0 (< 0, ≥ 0, ≤ 0), состоит из пяти этапов.

1. Вводим соответствующую функцию y = ax² + bx + c.

2. Определяем направление ветвей параболы y = ax² + bx + c: при a > 0 ветви параболы направлены вверх; при a < 0 ветви параболы направлены вниз.

3. Находим нули функции, т.е. решаем уравнение ax² + bx + c = 0.

4. Если уравнение имеет корни, то отмечаем корни на координатной прямой и схематически рисуем параболу в соответствии с направлением ветвей. Если уравнение не имеет корней, то схематически рисуем параболу в соответствии с направлением ветвей.

5. Находим решение неравенства с учетом знака неравенства.

Решите неравенство: .

Решение данных примеров сопряжено с определение знаков скобок.

Сначала определяется знак скобки без неизвестной. В данном примере это первая скобка.

Так как , чтобы все выражение было больше нуля (это видно из примера), вторая скобка должна иметь знак плюс, т.е. быть также больше нуля: 2 – 4x > 0.

Решая данное неравенство, получим:

-4x > -2

Ответ: x < 0,5.

Решите неравенство: -x² – 2x + 3 ≥ 0.

1. Пусть y = -x² – 2x + 3.

2. Так как a = -1, то ветви параболы направлены вниз.

3. Решим уравнение: -x 2 – 2x + 3 = 0.

   

4. Отметим числа 1 и (-3) на координатной прямой и построим график:

   

5. Так как знак неравенства ≥, то решением его будет отрезок [-3; 1].