Определение. Степенью числа a с натуральным показателем n называется число, записываемое как aⁿ и определяемое по правилу:

Например:

Определение. Степенью числа a (a ≠ 0) с целым показателем m называется число, записываемое как a^m и определяемое по правилу:

Выражения «нуль в нулевой степени» и «нуль в отрицательной степени» не определены.

Если основанием степени является обыкновенная дробь, то удобно использовать правило, которое следует непосредственно из определения:

.

Например:

.

m, n — целые числа, p ≠ 0

Какое из следующих выражений равно дроби: ?

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Чтобы ответить на данный вопрос, воспользуемся свойством степени с целым показателем. При делении показатели степеней с одинаковым основанием вычитаются. Таким образом, если 8 представить как 2³ , получим, что:

.

Микропроцессор за секунду совершает 250 тыс. операций. Как эта величина записывается в стандартном виде?

Воспользуемся правилом записи чисел с использованием степеней числа 10. Если положительное число a представлено в виде a₁ ∙ 10ⁿ , где 1 ≤  a₁  < 10, n — целое число, то говорят, что число a записано в стандартном виде.

В нашем примере, чтобы число 250000 представить в стандартном виде, необходимо, чтобы запятая стояла после числа 2, что будет удовлетворять условию, что 1 ≤  a₁  < 10. Тогда получим число 2,5. И, чтобы данное число соответствовало исходному, его необходимо умножить на 10⁵ . То есть если запятую перенести на пять знаков вправо (так как степень положительная, поэтому вправо), получим 250000.

Ответ: 2,5 ∙ 10⁵ .

Запишите числа в стандартном виде:

1) 0,0069;

2) 98000.

1. Чтобы представить число 0,0069 в стандартном виде, необходимо записать его в виде a₁ ∙ 10ⁿ , где 1 ≤  a₁  ≤ 10. Перенесем запятую в числе 0,0069 на три знака вправо, только тогда получим 1 ≤ 6,9 ≤ 10. После переноса запятой получим число 6,9, которое больше числа 0,0069 в 10³ раз. Чтобы число не изменилось, результат нужно умножить на 10^-3 . Получаем: 0,0069 = 6,9 ∙ 10^-3 .

2. Чтобы представить число 98000 в стандартном виде, необходимо записать его в виде a₁ ∙ 10ⁿ , где 1 ≤  a₁  ≤ 10. Перенесем запятую в числе 98000 на четыре знака влево, только тогда получим 1 ≤ 9,8 ≤ 10. После переноса запятой получим число 9,8, которое меньше числа 98000 в 10^-4 раз. Чтобы число не изменилось, результат нужно умножить на 10⁴ . Получаем: 98000 = 9,8 ∙ 10⁴ .

Примечание.

Если преобразование числа происходит с переносом запятой слева направо, то осуществляется действие деление на 10ⁿ . Записываем как 0,0069 = 6,9 ∙ 10^-3 , выражение при преобразовании равняется .

Если преобразование числа происходит с переносом запятой справа налево, то осуществляется произведение на 10ⁿ (записываем как 98000 = 9,8 ∙ 10⁴ , выражение при преобразовании равняется 9,8 ∙ 10000 = 98000).

Из чисел 1,130 ∙ 10⁶ ; 5,713 ∙ 10⁵ ; 4,011 ∙ 10⁶ ; 2,315 ∙ 10⁵ выберите наибольшее.

Данное задание предполагает оценку значений сначала по степени — наибольшая степень шестая. Таких значений два: первое и третье. Затем оцениваем первый множитель: 4,011 больше 1,130. Поэтому третье значение наибольшее.