Теоремы сложения и умножения вероятностей

 

На основании классического определения вероятностей можно доказать теоремы  о вычислении вероятностей сложных событий.

 

Теорема сложения вероятностей для несовместных событий

Если событие А является суммой несовместных событий В и С, входящих в поле событий S, то вероятность суммы этих событий равна сумме их вероятностей:

.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             (1.3)

Доказательство. Пусть событию В благоприятствует М_В, а событию С-М_С событий Е_i системы S. В силу несовместности событий В и С случай Е_i, благоприятствующий  В, не может  быть благоприятствующим С и наоборот. Следовательно, событию А благоприятствуют М=М_В+М_С случаев из общего числа N  случаев, откуда:

.

Следствие. Вероятность события , противоположного событию А, равна единице без вероятности события А:

                                                                              (1.4)

Доказательство. События А и  несовместимы и в сумме составляют достоверное событие U. Применяя теорему  сложения вероятностей, получим:

.

Так как вероятность достоверного  события равна единице, получим:

.

 

 

 

 

Пример 1.4. Каждое из трех несовместных событий А, В и С происходит соответственно с вероятностями 0,01; 0,02 и 0,03. Найти вероятность  того, что в результате  опыта не  произойдет  ни одного события.

Решение. Найдем вероятность того, что в результате опыта произойдет хотя бы одно из  событий А, В и С, то есть найдем вероятность суммы событий D=А+В+С. Так как по условию события А, В и С несовместимы:

.

Событие, вероятность которого  требуется найти в задаче, является противоположным событию D. Следовательно, искомая вероятность равна:

.

 

Два события А и В называются зависимыми, если вероятность одного из них зависит от наступления или не наступления другого. В случае зависимых  событий вводится понятие условной вероятности события.

Условной вероятностью Р(А½В) события А называется вероятность события А, вычисленная при условии, что событие В произошло. Аналогично через Р(В½А) обозначается  условная вероятность события В при  условии, что А наступило.

Безусловная вероятность события А отличается от условной вероятности этого события. Например, пусть брошены две монеты и требуется  определить  вероятность  того, что появится два “орла” (событие А), если известно, что на первой монете появится “орел” (событие В). Все возможные случаи следующие: (орел, решка), (орел, орел), (решка, орел), (решка, решка), в скобках на первом месте  указана  сторона первой монеты, на втором месте - второй монеты.

Если речь идет о безусловной вероятности событий А, то N=4, M=1 и P(A)=0,25. Если же событие В произошло, то число благоприятствующих А случаев остается тем же самым М=1, а число возможных случаем N=2: (орел, орел), (орел, решка). Следовательно, условная вероятность А при условии, что В наступило, есть Р(А½В)=0,5.

 

Теорема умножения вероятностей зависимых событий. Вероятность совместного наступления двух зависимых событий равна вероятности одного события, умноженной на условную вероятность другого события при условии, что первое произошло:

.                          (1.5)

 

Доказательство. Пусть событию А благоприятствуют m случаев, событию В благоприятствуют k случаев и событию АВ благоприятствуют r случаев. Очевидно, r £ m и r £ k. Обозначим через N число всех  возможных  случаев, тогда  Если  событие А произошло, то осуществится один из m случаев, ему благоприятствующих. При таком условии событию В благоприятствуют  r и только r случаев, благоприятствующих АВ. Следовательно,. .  Точно так же .  Подставляя соответствующие обозначения в очевидные равенства:

,

получим: .

Говорят, что событие  А независимо от события В, если имеет место равенство Р(А½В)=Р(А).

Следствие 1. Вероятность совместного наступления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий (теорема умножения для независимых событий):

.                                                              (1.6)

Доказательство. Пусть А не зависит от В, тогда  согласно  теореме  умножения  вероятностей и равенству  Р(А/В)=Р(А), получим Р(АВ)=Р(В) · Р(А) или Р(АВ)=Р(А) × Р(В), так что следствие доказано.

Кроме того, имеем равенство:

,

откуда Р(В½А)=Р(В), т.е. свойство независимости событий взаимно: если А не зависит от В, то В не зависит от А.

Следствие 2. Вероятность суммы двух событий равна  сумме вероятностей этих  событий без вероятности совместного их наступления (теорема сложения для любых событий), т.е. если А и В - любые события, совместные или несовместные, то:

.                                           (1.7)

Доказательство. Рассмотрим следующие представления событий А+В и В:

.

Поскольку в правых частях представлены несовместные события, то, применяя теорему сложения вероятностей, получим:

,

откуда следует:

.

Отметим, что если события А и В несовместны, то совместное  наступление их невозможно: АВ=V и Р(АВ)=Р(V)=0, так что:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

 

Следствие 3. Пусть производится n одинаковых независимых испытаний, при каждом из которых событие А появляется с вероятностью р. Тогда вероятность появления события А хотя бы один раз при этих испытаниях равна 1-(1-р)ⁿ.

Доказательство. Обозначим  через А_i появление события А в i-м испытании (i=1,2,...,n). Тогда событие В, состоящее в появлении события А в n испытаниях хотя бы один раз, запишется в виде:

.

Рассмотрим событие , заключающееся в том, что при n испытаниях событие А не появится ни разу, тогда:

.

Так как , получим, что

.

Так как для любых i события А_i не зависят от остальных, окончательно получим:

.

 

Пример 1.5. Вероятность попадания стрелка в мишень при каждом выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что после двух  выстрелов мишень окажется поврежденной.

Решение. Обозначим через А₁ событие, заключающееся в попадании в мишень при первом  выстреле, а через А₂ - при втором выстреле. Тогда А₁ ´ А₂ является  событием, означающим попадание  в мишень при обоих выстрелах. Событие А, вероятность которого требуется найти в задаче, является суммой события А₁ и А₂. Применяя теоремы сложения и умножения вероятностей для совместимых  независимых событий А₁ и А₂  получим:

Подставляя значение , будем иметь:

.

Искомую вероятность можно найти иначе: события А, заключающиеся в попадании в мишень хотя бы при одном выстреле, и , означающее непопадание в мишень ни при одном выстреле, являются противоположными, поэтому, применяя теорему умножения вероятностей, вычислим вероятность попадания  хотя бы при одном выстреле.

Так как , искомая вероятность равна

.

 

Пример 1.6. Вероятность попадания стрелка в цель при одном выстреле равна 0,2. Сколько выстрелов должен сделать стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,9 попасть в цель хотя бы один раз?

Решение. Обозначим через событие А попадания  стрелка в цель хотя бы один раз при n выстрелах. Так как события, состоящие в попадании в цель  при первом, втором и т.д. выстрелах независимы, искомая вероятность равна:

По условию Р(А)³0,9 и

,

следовательно,

и в результате получим:

.

Отсюда . Прологарифмировав это неравенство и учитывая, что , получим: , то есть, следовательно, стрелок должен произвести не менее 11 выстрелов.

 

 

К оглавлению

Назад к разделу "Понятие об аксиоматическом определении вероятности"

Вперед к разделу "Формулы полной вероятности и вероятности гипотез"