Классическое определение вероятности
Классическое определение вероятности исходит из некоторой системы равновозможных (равновероятных) событий, которые формально не определяются.
Рассмотрим полную группу попарно несовместных равновозможных событий E1, E2, ..., EN. Добавим к этим N событиям невозможное событие V и сложные события, образованные с помощью операции сложения любого числа и любых номеров событий E1, E2, ..., EN. Полученная система событий называется полем событий S. Система S исчерпывается конечным числом событий, если считать равносильные события просто тождественно равными друг другу.
Пусть, например, полная группа попарно несовместных равновозможных событий состоит из двух событий E1 и E2. Тогда система S содержит следующие четыре события: V, E1, E2, E1+E2=U. Если же полная группа попарно несовместных равновозможных событий состоит из трех событий E1, E2, E3, то система S содержит восемь событий: V, E1, E2, E3, E1+E2, E1+E3, E2+E3, E1+E2+E3=U.
Назовем для краткости событие Ei (i=1,2, ... ,N) возможным случаем. Пусть событие A является некоторым событием системы S, тогда A представляется в виде суммы некоторых возможных случаев Ei. Слагаемые Ei, входящие в разложение A, назовем случаями, благоприпятствующими событию A, а их число обозначим буквой M.
Определение. Вероятность P(A) события A равняется отношению числа возможных случаев, благоприпятствующих событию A, к числу всех возможных случав, то есть:
|
|
(1.1) |
Из определения вероятности следует, что для вычисления P(A) требуется прежде всего выяснить, какие события в условиях данной задачи, являются возможными случаями, затем подсчитать число возможных случаев, благоприятствующих событию A, число всех возможных случаев и найти отношение числа благоприятствующих случаев к числу всех возможных.
Пример 1.1. На семи карточках написаны: а, а, о, с, т, т, ч. Какова вероятность того, что при произвольном порядке расположения этих карточек в ряд будет составлено слово “частота”?
Решение. Нумеруем данные карточки. Возможными случаями считаются любые расположения этих карточек в ряд. Следовательно, число всех возможных случаев N есть число перестановок, составленных из семи элементов, то есть N=7!=5040. Благоприятствующими возможными случаями для события А, вероятность которого требуется найти, будут те перестановки, у которых на первом месте стоит буква “ч”, на втором - “а”, на третьем - “с”, на четвертом - “т”, на пятом - “с”, на шестом - “т” и на седьмом - “а”. На втором и седьмом местах буква “а” может появится 2! способами в зависимости от номера, присвоенного карточке с буквой “а”. Следовательно, различных перестановок, благоприятствующих появлению слова “частота” и отличающихся только номерами карточек с буквой “а”, будет 2!. То же самое можно сказать о букве “т”. Число перестановок, благоприятствующих появлению слова “частота” и отличающихся как номерами карточек с буквой “а”, так и номерами карточек с буквой “т”, будет равно 2! ´ 2!. Итак, число случаев, благоприятствующих событию А, равно М=2! ´ 2!. В результате получаем искомую вероятность:
Пример 1.2. Известно, что среди 11 приборов имеется 3 непроверенных. Какова вероятность при случайном безвозвратном отборе 5 приборов обнаружить среди них 2 непроверенных.
Решение. Перенумеруем все 11 приборов. Возможными случаями будем считать соединения по пять приборов из 11, отличающихся только номерами приборов, входящих в каждое соединение. Отсюда следует, что число всех возможных случаев будет равно числу сочетаний из 11 элементов по 5 элементов:
Для подсчета возможных
благоприятствующих случаев учитываем, что 2 непроверенных из 3 непроверенных приборов
можно извлечь 
способами. Кроме того,
3 проверенных прибора можно выбрать из 8 имеющихся проверенных 
различными способами.
Каждый вариант из двух непроверенных
приборов комбинируется с каждым
вариантом из трех проверенных, следовательно, число возможных случаев М,
благоприятствующих событию А, вероятность которого требуется найти,
равно 
. Отсюда:
.
Пример 1.3. В лифт восьмиэтажного дома вошли три человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любой из трех этажей, начиная с третьего. Найти вероятность того, что все пассажиры лифта выйдут на разных этажах.
Решение. Возможными случаями в данном примере считаются любые мыслимые
распределения, отличающиеся не только количеством, но и индивидуальностью
пассажиров лифта, выходящих на том или
ином этаже. Так как любой человек может выйти на каждом из шести (от третьего до восьмого) этажей,
всех возможных случаев будет 
. Для подсчета благоприятствующих случаев предположим сначала,
что пассажиры выходят по одному на фиксированных этажах. Общее число таких
случаев равно 3!. Теперь обратим внимание на тот факт, что общее число
сочетаний из 6 этажей по три этажа равно 
Следовательно, число
благоприятствующих случаев М равно 
, то есть равно числу размещений из 6 элементов по 
Итак,
.
Рассмотрим некоторые свойства вероятностей, вытекающие из классического определения.
1. Вероятность достоверного события равна единице. Достоверное событие U обязательно происходит при испытании, поэтому все возможные случаи являются для него благоприятствующими и
.
2. Вероятность невозможного
события равна нулю. Число благоприятствующих случаев для невозможного события равна нулю (М=0), поэтому
.
3. Вероятность события есть число, заключенное между нулем и единицей.
В силу того, что дробь 
не может быть числом
отрицательным и большим единицы, справедливо неравенство:
.