9. Многоканальная СМО с ограниченным временем ожидания
(к оглавлению)
Цель работы:
Овладение аналитическими методами и методами имитационного моделирования исследования многоканальных систем массового обслуживания с ограниченным временем ожидания.
Теоретические сведения
На практике встречаются варианты СМО, в которых заявки, не дождавшись обслуживания, могут покидать систему (”нетерпеливые” заявки).
Рассмотрим n-канальную СМО с ожиданием, в которой число мест в очереди не ограничено, а предельное значение времени ожидания является случайной величиной со средним значением . Иначе говоря, на каждую заявку действует своего рода пуассоновский поток уходов с интенсивностью
Если этот поток пуассоновский, то процесс в СМО будет Марковским. Создав размеченный ГСП для этого процесса и применяя общие уравнения схемы гибели-размножения можно получить выражения для предельных вероятностей. Полагая ρ=λ/μ и β=ν/μ будем иметь:
Отметим некоторые особенности СМО с ограниченным временем ожидания по отношению к СМО без временных ограничений.
Если длина очереди ограничена и заявки “терпеливы“, то стационарный предельный режим существует только в случае ρ<n (при ρ>= n соответствующая бесконечная геометрическая прогрессия расходится, что соответствует неограниченному росту очереди при ).
В отличие от СМО без временных ограничений в СМО с “нетерпеливыми“ заявками установившийся режим при достигается всегда, независимо от приведенной интенсивности потока заявок ρ. Это следует из того, что ряд для P0 в знаменателе формулы (0‑1) сходится при любых положительных значениях ρ и β.
Для СМО с “нетерпеливыми“ заявками понятие вероятности отказа теряет смысл - каждая заявка становится в очередь, но может не дождаться обслуживания, уйдя раньше времени.
Относительную пропускную способность q такой СМО можно определить следующим образом. Очевидно, что будут обслужены все заявки кроме тех, которые уйдут из очереди. Подсчитаем число заявок, покидающих очередь досрочно. Для этого вычислим среднее число заявок в очереди:
На каждую из этих заявок действует “поток уходов“ интенсивности ν. Значит, из среднего числа заявок в очереди будут уходить без обслуживания в среднем заявок, а обслуживаться в единицу времени будут
заявок. Относительная пропускная способность будет равна
Среднее число занятых каналов получаем, поделив абсолютную пропускную способность А на μ:
С помощью этого выражения можно найти среднее число заявок в очереди:
Входящее в эту формулу значение числа занятых каналов определяется как математическое ожидание случайной величины, принимающей значения 0,1,2,…n с вероятностями , , , ,…
(0‑6)
Содержание работы.
Подготовка инструментария эксперимента.
Выполняется в соответствии с общими правилами.
Расчет на аналитической модели.
1. В приложении Microsoft Excel подготовьте таблицу следующей структуры (по причине большой ширины таблицы левая, центральная и правая ее части по горизонтали показаны на отдельных рисунках).
2. Столбцами параметров СМО в таблице являются:
n: число каналов
Ta: средний интервал между приходами заявок
Ts: среднее время обслуживания заявок
Tw: средняя продолжительность ожидания заявок в очереди до ухода из системы без обслуживания
Значение полагается равным порядковому номеру в списке группы.
Значение .
Значения n и полагаются равными соответственно
n=1,2,3
и
Таким образом, необходимо найти теоретические и экспериментальные значения показателей СМО для 15 комбинаций значений параметров.
3. В столбцах r и b части Аналитическая модель запишите выражения для вычисления промежуточных и конечных результатов:
r: Ts / Ta
b: Ta / Ta
D:
B1:
B2:
… ………………..
B7:
S:
С:
P0: Выражение для P0 (0‑1) с учетом значений в столбцах
P1:
… …………
P6:
КС: Контрольная сумма -
А: Выражение для абсолютной пропускной способности (0‑2)
q: Выражение для относительной пропускной способности (0‑3)
nw: Выражение для средней длины очереди (0‑5)
ns: Выражение для среднего числа занятых каналов (0‑4)
Столбец КС включен для контроля правильности вычислений.
4. В столбцы правой части таблицы (Имитационная модель) заносятся результаты, полученные на программной модели.
Эксперимент на имитационной модели.
1. Установите режим запусков с экспоненциально распределенным временем обслуживания, задав значение соответствующего параметра.
2. Для каждой комбинации n, Ta, Ts, Tw осуществите запуск модели.
Результаты запусков внесите в таблицу.
Анализ результатов.
1. Проанализируйте результаты, полученные теоретическим и экспериментальным способами, сравните результаты между собой.
2. Для какой-либо комбинации n, Ta, Ts проведите исследования зависимости Pухода от значения Tw, задав несколько значений Tw, отличающихся на одну и ту же величину.
3. Постройте график зависимости Pухода = F(Tw).
Отчет по работе:
Отчет по работе должен включать:
- исходные данные,
- результаты расчетов,
- результаты экспериментов с программной моделью,
- графики Pухода = F(Tw), сведенные в таблицу со структурой, описанной выше.
Контрольные вопросы:
1)Дайте краткое описание модели СМО с ограниченным временем ожидания в очереди.
2)Нарисуйте размеченный ГСП для СМО с ограниченным временем ожидания в очереди.
3)При каких условиях в системе с ограниченным временем ожидания в очереди устанавливается стационарный режим?
4)Какой смысл имеет понятие вероятности отказа для СМО с ограниченным временем ожидания в очереди?
Задачи.
1)Проведите эксперимент для тех же наборов значений параметров для дисциплины обслуживания с приоритетами для коротких заявок.
2)Исследуйте зависимость системных показателей от вида распределения времени обслуживания.
4)Исследуйте модель п.3), добавив параметр приоритетности обслуживания коротких заявок.
5)Проведите исследование экономической эффективности выбора значений параметров СМО, для чего постройте таблицу со структурой:
(Левая часть таблицы)
(Правая часть таблицы)
Найдите значения прибыли в единицу времени при различных сочетаниях параметров.
Постройте графики зависимости прибыли от числа каналов при фиксированных временных параметрах.