2.3.2. Формулы Крамера и метод обратной матрицы

 

Формулы Крамера применяются при решении системы n линейных уравнений с n неизвестными, определитель которой отличен от нуля.

Решение системы линейных уравнений находится по формулам Крамера:

где |A| — определитель матрицы А, определённой нами выше, |A_j| — определитель, полученный из определителя |A| путем замены j-го столбца столбцом свободных членов.

Пример 2.9. Решить систему уравнений по правилу Крамера:

Х₁ + Х₂ + Х₃ + Х₄ = 10

Х₁ -  Х₂ + Х₃  - Х₄ = -2

2Х₁ - 3Х₂ +4Х₃ + Х₄ = 12

3Х₁ +4Х₂ - 3Х₃ +9Х₄ = 38

Решение. Вычислим определитель матрицы A:

Определитель , следовательно, система совместна и обладает единственным решением. Вычислим определители |A_j|, j=1, …, 4:

Аналогично вычисляем определители |A₂|, |A₃|, |A₄|: |A₂| = -136, |A₃| = -204, |A₄| = -272. Решение системы имеет вид:

После нахождения решения целесообразно сделать проверку, подставив найденные значения в уравнения системы, и убедиться в том, что они обращаются в верные равенства.

Методом обратной матрицы решаются системы n линейных уравнений с n неизвестными, определитель которых отличен от нуля. Решение матричного уравнения имеет вид: Х=А^-1В (получено из системы, записанной в матричной форме, определённой в пункте 2.3.1.).

Пример 2.10. Решить систему линейных уравнений матричным методом:

3Х₁-Х₂=1

2Х₁+Х₂-3Х₃=-5

Х₁+2Х₂+Х₃=8.

Решение. Представим данную систему в виде матричного уравнения:

Вычислим матрицу, обратную для матрицы А:

Найдем вектор неизвестных Х:
Откуда получаем решение системы: Х₁ = 1,  Х₂ = 2,  Х₃ = 3.

После нахождения решения целесообразно сделать проверку, подставив найденные значения в уравнения системы, и убедиться в том, что они обращаются в верные равенства.

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ №6

 

Решите систему линейных уравнений двумя способами (после решения необходимо выполнить проверку):

·       по формулам Крамера;

·                   матричным способом.

        1) 2X₁ + 5X₂ - 8X₃ = 8                   2)  X₁ + 8X₂ - 7X₃ = 12  

             4X₁ + 3X₂ - 9X₃ = 9                       2X₁ + 3X₂ - 5X₃ = 7

             2X₁ + 3X₂ - 5X₃ = 7                       6X₁ + 8X₂ -17X₃ = 17

 

        3) 2X₁ + 3X₂ - 5X₃ = 7                   4) 6X₁ + 6X₂ -14X₃ = 16  

            5X₁ +11X₂ -16X₃ = 21                     2X₁ + 5X₂ - 8X₃ = 8

            4X₁ + 3X₂ - 9X₃ = 9                        4X₁ + 3X₂ + 9X₃ = 9

 

        5) -7X₁ + 3X₂ +8X₃ = 75                6) 13X₁ - 6X₂           = 32  

              9X₁ -  4X₂        = -3                         8X₁ +4X₂ + 1X₃ = 12

                X₁ -  7X₂ - 3X₃ = 12                      2X₁ + 9X₂ + 5X₃ = -5

 

        7) 7X₁ - 4X₂          = 61                   8)  6X₁ + 3X₂ + 9X₃ = -111  

             8X₁ +9X₂ - 6X₃  = 48                     -7X₁ - 4X₂  -  2X₃  = 52

             9X₁ - 6X₂ - 2X₃  = 99                        X₁ - 7X₂ +  3X₃ = -47

 

         9) -5X₁ + 7X₂ +11X₃ = -2             10) 2X₁ +  X₂ + 3X₃ = 11  

               2X₁ + 6X₂  + 3X₃ = 11                  3X₁ + 2X₂ - 5X₃ = -20

               3X₁ -  5X₂ + 4X₃  = 11                  5X₁ -  2X₂ +3X₃ = -4

 

 

К оглавлению

Назад к разделу "2.3. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ"

Вперед к разделу "2.3.3. МЕТОД ЖОРДАНА-ГАУССА"