8.3. Группы: определение и примеры

 

Непустое множество G с одной бинарной алгебраической опера-цией называется группой, если выполняются следующие условия:

1)   операция в G ассоциативна;

2)   в Gсуществует единичный элемент е: еа=ае=а для всех aG;

3)   для каждого элемента a существует обратный ему элемент а^-1: aa^-1=a^-1a=e.

Иными словами, моноид G, все элементы которого обратимы, называется группой.

Если операция в G коммутативна, то группа называется коммутативной или абелевой.

Подмножество HGназывается подгруппой в G, если ему принадлежит единичный элемент е, для любых элементов h₁, h₂Hвыполняетсяh₁h₂H, т. е. Н замкнуто относительно операции, и для любого hH выполняется h^-1H ПодгруппаHG называется собственной, если Н≠е и H≠G.

Примеры.

1.Множество целых чисел образует группу целых чисел относительно операции сложения (Z, +, 0). Эта группа коммутативна. Аналогично множество рациональных и действительных чисел образует соответственно группы относительно сложения (Q, +, 0) и (R; +, 0). Подмножество четных чисел образует подгруппу. Подмножество нечетных чисел не образует подгруппу, так как операция сложения выводит из этого множества.

2.Множество целых чисел не образует группу относительно умножения, так как может не существовать обратного элемента. Все отличные от нуля рациональные числа и действительные числа образуют группы относительно умножения, причем коммутативные. Положительные рациональные и положительные действительные числа образуют подгруппы этих групп.

3.Пусть X—произвольное множество, S(X) — множество всех биективных отображений X в себя. Тогда S(X) — группа относительно операции композиции О. Она называется группой преобразований.

4.Рассмотрим множество М_п квадратных матриц порядка п с определителем, отличным от нуля. Это некоммутативная группа (M_n, •, Е) относительно операции умножения матриц, поскольку каждый элемент имеет обратный — обратную матрицу. Подмножество матриц с определителем, равным 1, образует подгруппу, так как

detE=l; detA = l; detB=1→detAB = l; detA = l→detA^-1=l.

5. Множество элементов {x₁, x₂, х₃, х₄} относительно операции, определенной таблицей Кэли (см. табл. 8.1.),— группа. Для элемента х₂, например, обратным является элемент x₄.

 

 

К оглавлению

Назад к разделу "8.2. Полугруппы и моноиды"

Вперед к разделу "8.4. Циклические группы. Группы подстановок"