5.7. Ортогональные преобразования
Рассмотрим свойства матрицы перехода от одного
ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису в пространстве 
.
Введем понятие ортогональной матрицы.
Определение. Матрица Т с вещественными
элементами называется ортогональной, если 
т.е.
.
Из определения следует, что ортогональная матрица
всегда невырожденная, так как 
и 
, то
.
Основные свойства ортогональной матрицы.
1. Матрица, обратная ортогональной, также ортогональна.
Пусть Т – ортогональная матрица, т.е. .
Тогда 
,
т.е. 
.
Значит, матрица 
- ортогональна.
2. Матрица 
ортогональна тогда и только тогда, когда ее
элементы удовлетворяют равенствам
.
Линейное преобразование Y=ТХ с
ортогональной матрицей Т называется ортогональным. Так как , то
ортогональное преобразование всегда невырожденное.
Теорема. Ортогональное преобразование координат не изменяет скалярного произведения векторов.
Доказательство. Рассмотрим линейный оператор 
,
соответствующий матрице Т, и два произвольных вектора 
и 
из . Их
образы обозначим через 
и 
,
т.е. 
, 
.
Тогда 
.
Поэтому 
.
Следствие 1. Ортогональное преобразование не меняет норм векторов и углов между векторами.
Следствие 2. Ортогональное преобразование переводит ортонормированный базис в ортонормированный.
Следствие 3. Матрица Т перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису является ортогональной.
Следствие 4. Матрица Т, приводящая симметричную матрицу А к диагональному виду, является ортогональной.