4.4. Метод Жордана-Гаусса

 

Метод Жордана-Гаусса основан на элементарных преобразованиях (п.3.2) строк расширенной матрицы

 

системы (4.1.1).

В результате каждого из элементарных преобразований расширенная матрица изменяется, однако системы линейных уравнений, соответствующие полученным матрицам, эквивалентны исходной системе линейных уравнений.

Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными. Применяя элементарные преобразования, построим эквивалентную систему специального вида. Для этого выберем в качестве первого уравнений одно из тех уравнений системы, где коэффициент при х₁ отличен от нуля. Не нарушая общности, предположим, что . Тогда первым уравнением системы будет уравнение

.

Умножим первое уравнение на . Затем умножим это же уравнение на , и прибавим его почленно к уравнениям системы с номерами i=2,3,…,m. После этого преобразования в уравнениях с номерами i>1 будет исключено неизвестное х₁. Первый шаг метода Жордана-Гаусса закончен.

 

.

 

Может случиться, что на первом шаге вместе с неизвестными х₁  будут исключены неизвестными , но найдется хотя бы одно уравнение, в котором сохранится неизвестное . Одно из таких уравнений примем в качестве второго уравнения системы. В этом случае расширенная матрица , соответствующая полученной системе, имеет вид:

.

 

 

Используем второе уравнение для исключения неизвестного  из всех уравнений, кроме второго. После второго шага метода Жордана-Гаусса получим расширенную матрицу

 

.

 

Продолжая процесс, после r шагов получим матрицу , содержащую rединичных столбцов на месте первых n столбцов матрицы А (r – ранг матрицы А системы).

При этом возможны три случая:

1.    Если , то матрица  преобразуется в матрицу

 

 

Система имеет единственное решение: .

2. Если  и r<n, то

 

 

Система имеет бесконечное множество решений. Общее решение имеет вид:

 

Неизвестные  называются базисными.  – свободными неизвестными.

Свободным неизвестным  можно придавать какие угодно значения, получая при этом соответствующие значения неизвестных . В результате имеем бесконечное множество частных значений.

Среди частных решений системы выделим базисные решения, которые получают при равенстве нулю всех свободных неизвестных. Очевидно, что одним из базисных решений является следующее:

.

В общем случае число базисных решений не превышает .

2.    Если , то

 

где хотя бы один из элементов  отличен от нуля. В этом случае система (4.1.1) несовместна.

Таким образом, метод Жордана-Гаусса состоит из r итераций (r шагов). На каждой S-ой итерации выбирается направляющий элемент соответственно направляющие строка и столбец. С помощью элементарных преобразований столбец  преобразуется в единичный с единицей в строке .

Рассмотрим алгоритм произвольной итерации метода Жордана-Гаусса. Положим .

Шаг 1. Сформировать множество .

Шаг 2. Если , то процесс элементарных преобразований закончить. В противном случае перейти к шагу 3.

Шаг 3. Если для , то процесс элементарных преобразований закончить. В противном случае найти направляющий элемент  и перейти к шагу 4.

Шаг 4. Разделить направляющую строку  на .

Шаг 5. К i-ой строке, , прибавим строку , умноженную на .

 

Покажем, что столбец  преобразуется в единичный с единицей в строке . Пусть . Элементы матрицы  выражаются через элементы матрицы  следующим образом:

 

	(4.4.1)
	(4.4.2)
	(4.4.3)
	(4.4.4)

Полагая j=k, из (4.4.1) и (4.4.3) имеем

.

Пример. Решить систему линейных уравнений методом Жордана-Гаусса.

а)

 

Решение. Составим из данной системы расширенную матрицу

 

Полагаем .

Итерация 1.

Шаг 1. .

Шаг 2. , переходим к шагу 3.

Шаг 3. Находим .

Шаг 4. Делим третью строку на .

Шаг 5. К первой, второй и четвертой строкам прибавляем третью строку, соответственно умноженную на –2, -2, -3. В результате матрица  преобразуется в матрицу

 

.

 

Итерация 2.

Шаг 1. .

Шаг 2. , переходим к шагу 3.

Шаг 3. Находим .

Шаг 4. Делим первую строку на .

Шаг 5. Ко второй, третьей и четвертой строкам прибавляем первую строку, соответственно умноженную на –4, -3, 1. Получим матрицу

.

 

Итерация 3.

Шаг 1. .

Шаг 2. , переходим к шагу 3.

Шаг 3. Находим .

Шаг 4. Делим четвертую строку на .

Шаг 5. К первой, второй, третьей строкам прибавляем четвертую строку, соответственно умноженную на 0, -5, -2. Получим матрицу

.

 

Итерация 4.

Шаг 1. .

Шаг 2. , переходим к шагу 3.

Шаг 3. Находим .

Шаг 4. Делим четвертую строку на .

Шаг 5. К первой, третьей и четвертой строкам прибавляем вторую строку, соответственно умноженную на -1, 2, 0. Получим матрицу

.

 

Итерация 5.

Шаг 1. .

Шаг 2. , поэтому процесс элементарных преобразований закончен. На основании вида матрицы  получаем единственное решение исходной системы: .

б)

 

Решение. Составим расширенную матрицу

.

 

В результате итерации 1, полагая , получим матрицу

 

После итерации 2, полагая , получим матрицу

 

 

Итерация 3.

Шаг 1. .

Шаг 2. .

Шаг 3. Так как , то процесс элементарных преобразований закончен.

Матрица  определяет общее решение системы:

 - базисные,  - свободные переменные.

Получим одно из базисных решений:

.

 

в)

 

Решение. Матрицы , ,  имеют вид:

 

 

 

 

Очевидно, что процесс элементарных преобразований следует закончить, так как . Из первой (или третьей) строки матрицы  следует, что исходная система линейных уравнений несовместна. Действительно, первой строке соответствует уравнение , которое не может быть удовлетворено ни при каких значениях неизвестных .

Используя метод Жордана-Гаусса, рассмотрим еще один метод вычисления обратной матрицы .

Рассмотрим матричное уравнение

 

,

(4.4.5)

где , Е – единичная матрица.

Очевидно, что матричное уравнение (4.4.5) имеет единственное решение .

 

Решение матричного уравнения (4.4.5) сводится к решению n систем n линейных уравнений с n неизвестными вида

 

Системе линейных уравнений (4.4.6) соответствует расширенная матрица . Применяя к матрице  алгоритм метода Жордана-Гаусса, получим матрицу . Покажем, что . Расширенной матрице  соответствует матричное уравнение , которое имеет единственное решение Х=В. Матрица  получена из матрицы  методом Жордана-Гаусса. Поэтому системы линейных уравнений, соответствующие матрицам  и , равносильны, т.е. имеют одно и то же решение. Отсюда следует, что , следовательно, .

Таким образом, чтобы для невырожденной матрицы А вычислить обратную матрицу , необходимо составить матрицу . Методом Жордана-Гаусса в матрице  преобразовать матрицу А к виду единичной матрицы Е, тогда на месте единичной матрицы Е получим обратную матрицу .

Пример. Вычислить обратную матрицу  для матрицы

.

 

Решение. Составим матрицу

.

 

На итерации 1, полагая , получим

.

 

На итерации 2, полагая , получим

.

 

На итерации 3, полагая , получим

,

 

откуда .

 

 

К оглавлению

Назад к разделу "4.3. Теорема Кронекера-Карелли"

Вперед к разделу "4.5. Однородные системы линейных уравнений"