2.3. Миноры и алгебраические дополнения

 

Вычисление определителей на основании данного выше определения представляет некоторые трудности. Существует более простой метод вычисления определителей, основанный на том, что определитель порядка n может быть выражен через определители более низких порядков.

Пусть дана квадратная матрица . Будем называть минором элемента  матрицы А определитель (n-1)-го порядка, соответствующий матрице, которая получается из матрицы А вычеркиванием i–ой строки и j–го столбца. Минор элемента  будем обозначать символом M.

Например, , .

 

Алгебраическим дополнением A элемента  матрицы А называется его минор, взятый со знаком (-1), т.е. . Например, в предыдущей матрице .

 

Теорема. Произведение любого элемента  на его алгебраическое дополнение в определителе |A| является алгебраической суммой, слагаемые которой будут некоторыми членами определителя |A|, причем их знаки в этой сумме совпадают с теми знаками, с которыми они входят в состав определителя.

Покажем сначала, что произведение  является алгебраической суммой, слагаемые которой удовлетворяют условию теоремы.

В определителе

 

М занимает правый нижний угол. Число i+j является в этом случае четным и поэтому .

 

Произвольный член

(2.3.1)

 имеет в миноре  знак , где  inv(,,...,) есть число инверсий в подстановке .

 

 

Умножая  на (2.3.1), получим произведение

(2.3.2)

элементов, расположенных в разных строках и разных столбцах определителя |A|. Поэтому каждое такое произведение (2.3.2) будет членом определителя |A|. Знаки членов (2.3.2) и (2.3.1) совпадают, так как знак члена (2.3.2) определяется выражением =. Такой же знак имеет каждый член (2.2.3) и в определителе |A|, так как четность подстановки ,

составленной из индексов этого члена, определяется выражением .

Перейдем к рассмотрению общего случая.

Переставляя соседние строки и столбцы определителя |A|, передвинем произвольный элемент  в левый верхний угол. Для этой цели переставим i–ую строку на (i–1) раз и j–ый столбец на (j–1) раз. Очевидно, что при данной перестановке взаимное расположение строк и столбцов в миноре M остается без изменения. После этих преобразований получим новый определитель |A| с тем же минором M для элемента , но расположенный в правом нижнем углу определителя |A|.

Как доказано выше, произведение  M является суммой некоторого числа членов определителя |A|. Однако определитель |A| получен из определителя |A| путем (i+j-2) перестановок строк и столбцов, и поэтому члены определителя |A| отличаются от соответствующих членов определителя |A| лишь знаком . Отсюда следует, что произведение  состоит из некоторого количества членов определителя |A|, взятых с такими же знаками, какие они имеют в этом определителе. Теорема доказана.

 

 

К оглавлению

Назад к разделу "2.2. Определители и их свойства"

Вперед к разделу "2.4. Вычисление определителей n-го порядка"