Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций
Элементы теории множеств. Основные понятия
Одним из основных понятий современной математики является понятие множества. Оно принадлежит к числу первичных, не определяемых через более простые понятия Дадим описательное понятие множества.
Множество – это совокупность (собрание, набор, семейство…) некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку. Объекты, которые образуют множество, называются элементами этого множества.
Примерами множеств являются: множество студентов вуза, множество предприятий некоторой отрасли, множество натуральных чисел и т.п.
Множества обозначаются прописными буквами латинского алфавита, а их элементы – строчными буквами.
Рассмотрим некоторые понятия и обозначения из теории
множеств. Если 
есть элемент множества 
, то используется запись 
, а если не
является элементом данного множества, то пишут хÏX.
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом Æ.
Если множество B состоит из части элементов множества A или совпадает с ним, то множество B называется подмножеством множества A и обозначается BÌA.
Если, например, A – множество всех студентов вуза, а В – множество студентов-первокурсников этого вуза, то В есть подмножество множества А, т.е. ВÌА.
Множества A и B называют равными, если они состоят из одних и тех же элементов (А = В).
Объединением
двух множеств А и В называют третье множество С,
составленное из элементов множества А с добавлением элементов
множества В, не входящих в A.
Объединение обозначают так: А
В
(рис.1.1).
Пересечением,
или общей частью двух множеств А и В (А
В), называют множество D = АВ, составленное из всех
элементов, входящих и в А, и в В (рис.1.2).
Разностью множеств А и В называется множество Е, состоящее из всех элементов множества А, которые не принадлежат множеству B, т.е. Е = А\В (рис.1.3).
Дополнением множества
АÌВ называется
множество Ав, состоящее из всех элементов множества В,
не принадлежащих А
(рис. 1.4.)
Введенные выше обозначения во многом облегчают математические записи. Также полезно знать некоторые обозначения из математической логики:
– любой,
для любого; 
– существует, найдется. Знаки
, 
, 
означают следующее: I Þ II – из утверждения I следует (вытекает) утверждение II; I
Ü II – из II следует I; I Û II – утверждения I и II равносильны (эквивалентны).
Поясним примером.
Утверждение I: 
, 
– катеты прямоугольного треугольника с
гипотенузой 
. Утверждение II: 
– теорема Пифагора. I Þ II – запись теоремы Пифагора.
Числовые множества. Множество действительных чисел
Множества, элементами которых являются числа,
называются числовыми. Из школьного курса алгебры известны
множества:
N ={1; 2; 3; …; n; …} – множество натуральных чисел;
Z0 ={0; 1; 2; 3; …; n; …} – множество целых неотрицательных чисел;
Z ={0; ±1; ±2; ±3; …; ±n; …} – множество целых чисел;
Q =
– множество рациональных чисел;
I – множество иррациональных чисел;
R – множество действительных (вещественных) чисел.
Всякое рациональное число выражается или конечной десятичной дробью, или бесконечной периодической дробью.
Иррациональные числа определяются как числа, выражающиеся бесконечными непериодическими десятичными дробями.
Множество R содержит рациональные и иррациональные числа.
Очевидно, что NÌZ0ÌZÌQÌR, IÌR, 
.
Множество действительных (вещественных) чисел геометрически изображается точками числовой прямой. Напомним, что числовой прямой, или числовой осью, называется прямая с заданными на ней положительным направлением, единицей масштаба и началом отсчета (рис.1.5).
Рис. 1.5.
Модуль действительного числа. Окрестность точки
Модуль действительного числа х определяется так:
Отметим свойства абсолютных величин:
1. |x + y| £ |x| + |y|;
2. |x – y| ³ |x| – |y|;
3. |xy| = |x| |y|;
4.
.
Числовые промежутки. Множество X, элементы
которого удовлетворяют: неравенству a £ x £ b,
называется отрезком (сегментом) и обозначается [а, b], неравенству a < x < b – интервалом (а, b); неравенствам a £ x < b или a < x £ b, называются полуинтервалами и обозначаются соответственно
[а,
b) и
(а,
b].
Для обозначения нижеследующих промежутков используется символ ¥: x ³ a обозначается [a, +¥); a < x записывается так (а, +¥); x £ а и x < а обозначается соответственно (–¥, a] и (–¥, a). Вся числовая ось R записывается так R = (–¥, +¥).
Окрестность точки определим как всякий интервал, содержащий эту точку. Чаще в анализе употребляется понятие e – окрестности точки.
Рис. 1.6
Пусть число e >0; e – окрестностью точки а называют
интервал
(а – e, а + e).
Очевидно, что эта окрестность имеет длину 2e и определяется неравенствами а – e < х < а + e (рис.1.6).
Функции. Основные понятия
При рассмотрении количественных отношений явлений реального мира приходится иметь дело с численными значениями различных величин, например времени, скорости, пути, объема производства и т.д. В зависимости от рассматриваемых условий одни из величин имеют постоянные числовые значения, у других эти значения переменные. Такие величины называются соответственно постоянными и переменными.
Если величина сохраняет постоянное значение лишь в условиях данного явления (процесса), то в этом случае она называется параметром.
Приведем пример. При равномерном движении скорость v
постоянна, время t и путь S переменные, причем 
.
Изучение окружающих нас явлений показывает, что
переменные величины не всегда изменяются не независимо друг от друга, а
изменение численных значений одних из них влечет за собой изменение значений
других. В дальнейшем будут рассматриваться лишь пары переменных, значения одной
(зависимой) из которых изменяются в зависимости от значений другой
(независимой). В приведенном выше примере t – независимая
переменная, S – зависимая переменная, а v –
постоянная
(параметр).
Подчеркнем, что в данном примере каждому значению независимой переменной соответствует только одно значение зависимой переменной.
Перейдем к понятию функции.
Если дано некоторое множество Х и указан
некоторый закон (правило), обозначаемый буквой f, по которому каждому значению величины х из множества Х
ставится в соответствие одно вполне определенное значение величины y множества Y, то говорят, что на множестве Х задана
функция вида 
.
При этом х называется независимой переменной (или аргументом), у – зависимой переменной.
Замечание: Не следует думать, что для записи функции, ее аргумента и значения употребляются лишь буквы f, x, и y.
Множество Х называют областью
определения (или существования) функции и обозначают 
, а множество Y обозначают 
и называют областью
значений функции.
Мы будем изучать действительные функции действительной переменной: т.е. множество Х состоит из таких действительных чисел, которым соответствуют действительные значения функции.
Если множество Х
специально не оговорено, то под областью определения функции подразумевается
область допустимых значений независимой переменной х, то есть множество таких значений х, при
которых функция 
вообще
имеет смысл (отсутствует деление на нуль, отрицательное число под знаком
радикала и т.д.).
В качестве примера найдем область определения функций:
1. 
При любом действительном значении независимой переменной х функция у принимает действительные значения. Следовательно, областью определения заданной функции является множество (–∞; +∞), или хÎ(–∞; +∞).
2. 
При любом действительном
значении х функция у принимает действительные значения, кроме тех значений
х, при которых знаменатель дроби равен нулю, т.е.,
когда 3х – 1 = 0. Найдем это значение: 
Таким образом, заданная
функция определена (то есть принимает действительные значения) при всех
значениях х, кроме 
Отсюда следует, что
областью определения заданной функции является следующее множество:
3. 
Область определения заданной
функции определяется неравенством 
. Отсюда находим, что
функция у принимает действительные значения только при хÎ (2; +∞), что и является ее областью определения.
4. 
Область определения заданной функции определяется
неравенством 
, так как известно, что логарифмы
отрицательных чисел не существуют.
Решением заданного
неравенства является множество 
, что и является областью
определения заданной функции.
Частное значение функции 
при 
записывают так: 
.
Например, пусть 
.
Найдем ее частные значения при х = 0; х = 1:
,
.
Способы задания функций
Наиболее распространенными являются следующие три способа задания функции: аналитический, графический и табличный.
1. Аналитический способ: функция задается в виде одной или нескольких формул или уравнений.
Например: 1) 
2) 
3) 
2. Табличный способ состоит в том, что функция задается таблицей, содержащей значения аргумента х и соответствующие им значения функции f(х). Примерами табличного задания функции являются таблицы квадратов, кубов, квадратных корней и т.д.
3. Графический способ. Графики функций обычно связывают с прямоугольной декартовой системой координат на плоскости. Напомним, что эта система координат представляет собой совокупность двух взаимно перпендикулярных числовых осей с общим началом отсчета О и общей единицей масштаба.
Графический способ состоит в изображении графика функции – множества
точек (х,
у) плоскости, абсциссы которых
есть значения аргумента х, а ординаты – соответствующие им значения функции .
Основные характеристики функции
1.
Четность и нечетность. Функция называется четной, если для любых
значений х из области определения выполняется равенство 
, и нечетной, если 
. В противном случае функцияназывается функцией общего вида.
Например, функция 
является
четной, так как
, а функция 
– нечетной,
так как
.
В
то же время, например, функция 
является функцией
общего вида, так как 
и 
.
График четной функции симметричен относительно оси
ординат (см., например, график функции
нa
рис.1.7), а график нечетной функции симметричен относительно начала координат
(см., например, график функции 
на рис.1.8).
2.
Монотонность. Функция называется возрастающей
(убывающей) на множестве X, если большему значению аргумента из этого промежутка
соответствует большее (меньшее) значение функции, т.е. из неравенства 
следует неравенство
.
Функции возрастающие или убывающие называются монотонными функциями.
Так, например, функция (см.
рис. 1.7) при хÎ (–¥; 0) убывает и при хÎ(0; +¥) возрастает (см. рис. 1.7).
Рис. 1.7. Рис. 1.8.
В точке 
функция не является ни возрастающей, ни убывающей,
так как в любой ее окрестности не выполняются условия возрастания или убывания.
3. Ограниченность. Функция называется ограниченной
на промежутке X, если
существует такое положительное число М,
что 
для любого 
. В
противном случае функция называется неограниченной.
Например, функция 
ограничена
на всей числовой оси, ибо 
для любого 
.
4. Периодичность. Функция называется
периодической, если существует такое число 
, что
для всех х и 
из области определения выполняется
равенство 
. Наименьшее число Т их всех таких
чисел t называется периодом функции .
Например, период функции 
равен 
, так как для любых х области определения этой функции выполняется
равенство 
.
Число 
, для которого
выполняется это равенство, является наименьшим. Возьмем фиксированную точку 
. Найдем значение 
в
этой точке: 
. Это значение, равное 1, 
может повторить только через 
радиан. Следовательно, 
не может иметь периода, меньшего .
Элементарные функции. Классификация функций
Если функция задана аналитическим уравнением , связывающим переменные x, y, то есть разрешенным относительно у,
то такое задание функции называется явным.
Примерами явного
задания функции являются: ; 
.
Если функция задана уравнением вида 
, связывающим переменные x, и y,
при этом не разрешенным относительно у, то такое задание функции
называется неявным.
Примеры неявно заданных функций:
1) 
, 2) 
.
Всякую явно заданную
функцию можно записать как неявно заданную
уравнением 
. Обратное не всегда возможно. Например,
неявно заданную функцию уравнением 
нельзя задать в явном
виде, т.к. последнее уравнение не разрешимо относительно у.
Если у является функцией переменной u на множестве U – 
, а u
является функцией переменной х – 
с областью определения Х и областью изменения U, то у называется сложной функцией, или функцией от функции (суперпозицией
функций) переменной х. Символически сложная функция обозначается так 
.
Здесь х – независимая переменная, u – промежуточная переменная, у – сложная функция.
Например, функция 
является суперпозицией функции 
и функции 
на
множестве 
.
Обратная функция. Пусть дана функция с
областью определения Х и областью значений Y. Если каждому 
соответствует только одно
значение 
, то на множестве Y определена функция 
, называемая обратной
к функции 
Символически обратную функцию 
обозначают еще так: 
. Функции и называются взаимно обратными.
Отметим, что графики взаимно обратных
функций и одинаковы.
Однако если в обратной функции обозначения функции х
и аргумента у изменить соответственно на у и
х, то графики функций и 
будут симметричны относительно биссектрисы
первого и третьего координатных углов. На рисунке 1.9 показаны графики взаимно
обратных функций 
и 
с
измененным обозначением.
Рис. 1.9
Чтобы найти функцию ,
обратную к функции , достаточно решить уравнение 
относительно х, если это возможно.
Элементарные функции. Основными элементарными функциями называются следующие функции:
a)
постоянная функция 
;
b)
степенная функция 
;
c)
показательная функция 
;
d)
логарифмическая функция 
где 
;
e)
тригонометрические функции 
;
f) обратные тригонометрические функции
.
Всякая функция, которая получается из основных элементарных функций путем выполнения над ними конечного числа арифметических операций и операции составления из них сложной функции, называется элементарной функцией.
Примерами элементарных функций могут служить функции
.
Классификация функций. Элементарные функции делятся на алгебраические и неалгебраические (трансцендентные).
Алгебраической называется функция, в которой над аргументом проводится конечное число алгебраических действий. К числу алгебраических функций относятся:
– целая рациональная функция
;
– дробно-рациональная функция – отношение двух многочленов;
– иррациональная функция.
Всякая неалгебраическая функция называется трансцендентной. К таким функциям относятся функции: показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические.