Н.Н. Прокимнов

 

 

 

 

Практикум по курсу

“Имитационное моделирование”

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Москва, 2009
Содержание

Введение. 3

 

1.  Генерация равномерно распределенной на отрезке (0,1) случайной величины и имитация случайных событий. 3

 

2.  Имитация случайных величин с заданными законами распределения и случайных процессов. 8

 

3.  Метод статистических испытаний. 16

 

4.  Имитационная модель одноканальной системы массового обслуживания. 23

 

5.  Имитационная модель документооборота. 36

 

6.  Имитационная модель корпоративной информационной системы.. 45

 

7.  Многослойная имитационная модель экономического процесса. 51

 

8.  Отсеивающий эксперимент. 63

 

Литература. 80

 

Приложение 1. 81

 

Приложение 2. 84

 

Приложение 3. 85

 

Приложение 4. 87

 
Введение

 

Учебное пособие содержит описание лабораторных работ, перечни контрольных вопросов, подборку задач и дополнительных заданий к лабораторным работам по основным разделам курса “Имитационное моделирование”.

Каждый из разделов предваряется основными сведениями из теории компьютерного моделирования по основной теме раздела.

Описание содержания и порядка выполнения практической работы предваряется основными сведениями из теории  компьютерного моделирования по основной теме занятия.

Вслед за описанием порядка выполнения и перечнем требований к составу и форме представления результатов работы дается перечень контрольных вопросов.

Содержание заданий на выполнение работ лабораторного практикума предполагает знакомство с основными понятиями теории вероятностей и математической статистики, а также наличие базовых навыков работы с электронными таблицами (приложение Excel пакета Microsoft Office) и знание основных конструкций языка С++.

В большинстве лабораторных работ предусмотрено проведение экспериментов с имитационными моделями изучаемых СМО. Порядок настройки параметров и сборки проекта, перечень модулей и настраиваемых параметров приводятся в приложениях.

 

1.     Генерация равномерно распределенной на отрезке (0,1) случайной величины и имитация случайных событий

 

1.1.Цель работы:

Изучение:

1) метода линейного конгруента получения псевдослучайных чисел, равномерно распределенных на интервале 0-1,

2) метода имитации наступления/ненаступления событий.

 

1.2.Теоретические сведения.

Эффективными методами исследования процессов и систем, получившими широкое распространение, являются методы компьютерного моделирования, в частности,  имитационное моделирование [1] и метод статистических испытаний (метод Монте-Карло) [2]. В основе вычислений по методу статистических испытаний лежит случайный выбор чисел из заданного вероятностного распределения. При практических вычислениях эти числа берут из таблиц или получают путем некоторых операций, результатами которых являются псевдослучайные числа с теми же свойствами, что и числа, получаемые путем случайной выборки. Имеется большое число вычислительных алгоритмов, которые позволяют получить длинные последовательности псевдослучайных чисел.

 

1.2.1. Получение случайных чисел, равномерно распределенных на интервале [0,1].

Один из наиболее простых и эффективных вычислительных методов получения последовательности равномерно распределенных случайных чисел, включающий только одну операцию умножения, разработан Лехмером и известен как метод линейного конгруента [3].

Алгоритм имеет четыре параметра:

m       Модуль (основание системы), m > 0

a       Множитель, 0 ≤ a < m

c        Приращение, 0 ≤ с < m

Х0     Начальное значение, или зерно (seed),  0≤ Х0 < m

Последовательность случайных чисел {Xn} получается с помощью следующего итерационного равенства:

 

 

Если m, а и с являются целыми, то создается последовательность целых чисел в диапазоне 0 ≤  Xn < m.

Выбор значений а, с и m является критичным для разработки хорошего генератора случайных чисел.

Очевидно, что m должно быть очень большим, чтобы была возможность создать много случайных чисел. Считается, что m должно быть приблизительно равно максимальному положительному целому числу для данного компьютера. Таким образом, обычно значение m близко или равно 231.

Существует три критерия, используемые при выборе генератора случайных чисел:

-  Функция должна создавать полный период, т.е., должны появиться все числа между 0 и m до того, как создаваемые числа начнут повторяться;

-  Создаваемая последовательность должна появляться случайно. Фактически последовательность чисел не является случайной, так как она создается детерминированным образом, но различные статистические тесты, которые могут применяться, должны показывать, что последовательность случайна;

-  Программа, реализующая метод, должна эффективно выполняться на 32-битных процессорах.

 

Значения а, с и m должны быть выбраны таким образом, чтобы эти три критерия выполнялись. В соответствии с первым критерием можно показать, что если m является простым и с = 0, то при определенном значении а период, создаваемый функцией, будет равен m-1. Для 32-битной арифметики соответствующее простое значение m = 231 - 1. Таким образом, функция создания псевдослучайных чисел имеет вид:

 

 

Только небольшое число значений а удовлетворяет всем трем критериям. Одно из таких значений а = 75 = 16807, которое использовалось в семействе компьютеров IBM 360.

Генератор широко применяется, и прошел более тысячи тестов, больше, чем все другие генераторы псевдослучайных чисел.

Программа на языке С++ имеет следующий вид

 

 

Для задания базового значения в программе использовано битовое содержимое таймера компьютера, что обеспечивает случайных характер выбора начальной точки последовательности чисел. Это удобно для проведения экспериментов на модели, но создает сложности в процессе ее отладки, так как не дает возможность обеспечить воспроизводимость запусков. С целью обойти эту проблему следует задавать в качестве начального значения конкретную величину, одну и ту же для всех отладочных тестов.

 

1.2.2. Имитация наступления события с заданной вероятностью.

Пусть некоторое событие А происходит с вероятностью РА. Требуется воспроизвести факт наступления события А.

Поставим в соответствие событию А событие В, состоящее в том, что х ≤ РА, где х случайное число с равномерным на интервале (0,1) законом распределения. Вычислим вероятность события В:

 

 

Таким образом, события А и В являются равновероятными. Отсюда следует процедура имитации факта появления события А. Она сводится к проверке неравенства х ≤ РА, и алгоритм заключается в следующем:

1) Генерируется случайное число х;

2) Проверяется выполнение неравенства х ≤ Р(А);

3) Если неравенство выполняется, считается, что событие А произошло, если нет – не произошло.

 

1.3.         Задание.

1.3.1. Подготовка эксперимента.

Соберите проект С++ в соответствии с указаниями, содержащимися в Приложении (используется модуль 001). Запустите табличный редактор Microsoft Excel.

 

1.3.2. Изучение генератора случайных чисел.

1. Запустите несколько раз программу для небольшого значения NexpR с получением трассировочного вывода и убедитесь, что это приводит к появлению различных последовательностей псевдослучайных чисел.

2. Замените

(long)time(NULL)

в тексте функции rundum() на выражение

или на заранее просчитанное по этой формуле значение.

Запустите несколько раз программу и убедитесь, что все запуски приводят к появлению одинаковых последовательностей псевдослучайных чисел.

3. Восстановите текст функции rundum()  и осуществите прогоны программы с разными значениями числа выполнения программы-генератора NexpR, задавая в разделе параметров модели значения NexpR равные

-   100

-   1000

-   10000

 

Для каждого значения NexpR проведите по пять запусков и найдите среднее значение для оценок матожидания случайной величины, получаемой в результате выполнения программы-генератора, по всем запускам. Результаты занесите в Excel-таблицу:

 

 

Чтобы отменить вывод в файл итог каждого испытания, возьмите в знаки комментария оператор вывода получаемого значения в цикле.

4. Проанализируйте полученные данные.

5. Для отключения в последующих запусках экспериментов с генератором случайных чисел установите в разделе “Параметры модели” NexpR=0.

 

1.3.3. Изучение алгоритма имитации наступления событий.

1) В разделе параметров модели задайте значение вероятности наступления события равное

 

 

2) Выполните пробные прогоны программы с небольшим значением NexpE и изучите трассировочный вывод.

3) Осуществите прогоны программы с разными значениями числа выполнения программы-генератора NexpE, задавая в разделе параметров модели значения NexpE равные

-   100

-   1000

-   10000

 

4) Для каждого значения NexpE проведите по пять запусков и найдите среднее значение для оценок матожидания случайной величины, получаемой в результате выполнения программы-генератора, по всем запускам. Результаты занесите в Excel-таблицу:

 

 

Чтобы отменить вывод в файл итоги всех испытаний, возьмите в знаки комментария оператор вывода получаемого в цикле значения.

5) Проанализируйте полученные данные.

6) Для отключения в последующих запусках экспериментов с программой имитации наступления события установите в разделе “Параметры модели” NexpE=0.

1.4.Отчет по работе.

Отчет по работе должен включать таблицы результатов экспериментов с

1) генератором случайных чисел

2) имитатором наступления события

 

1.5.Контрольные вопросы.

1) Чем вызывается необходимость применения программного генератора псевдослучайных чисел?

2) Чем отличается псевдослучайное число от случайного?

3) Какие требования предъявляются к программным генераторам псевдослучайных чисел?

4) В каких случаях целесообразно задавать начальное значение xn в виде константы, а в каких – случайной (псевдослучайной) величиной?

5) Какой прием обычно используется для задания начального значения последовательности случайных чисел?

6) Что понимается под имитацией случайного события?

7) Какой прием применяется для имитации случайных событий?

 

2.     Имитация случайных величин с заданными законами распределения и случайных процессов

 

2.1.Цель работы:

Изучение методов:

1) получения случайных чисел и

2) обработки результатов имитационных экспериментов.

 

2.2.         Теоретические сведения.

Значительную роль в программных средствах и системах имитационного моделирования играют методы и процедуры получения случайных величин, подчиняющихся тому или иному закону распределения. Рассмотрим основные из этих методов, а также приемы обработки результатов, получаемых с помощью имитационных моделей (см., например, [1], [2]).

 

2.2.1. Получение случайных чисел, равномерно распределенных на произвольном интервале.

Для получения случайной величины y, равномерно распределенной на интервале (a,b), можно воспользоваться выражением

 

 

где x – случайная величина,  равномерно распределенная на интервале (0,1).

Программа на языке С++ имеет следующий вид:

 

 

В этой программе интервал распределения задается своей серединой m и половиной длины s.

 

2.2.2. Метод обратной функции.

Пусть непрерывная случайная величина η задана законом распределения:

 

 

где  fη– плотность распределения вероятностей, а Fη - функция распределения вероятностей. Тогда случайная величина ξ

 

 

распределена равномерно на интервале (0,1).

Отсюда следует, что искомое значение y может быть определено из уравнения:

 

 

которое эквивалентно уравнению:

 

 

где y – значение случайной величины η, а x – значение случайной величины ξ.

Решение уравнения   можно записать в общем виде через обратную функцию :

 

y=

 

Основной недостаток метода заключается в том, что интеграл не всегда является берущимся, а уравнение не всегда решается аналитическими методами.

Однако для ряда весьма важных случаев решение есть. В частности, в соответствии с методом обратной функции существует преобразование, позволяющее вычислить значения случайной величины η, распределенной по показательному закону, который особенно часто используется для исследования систем массового обслуживания и определения показателей надежности систем.

 

2.2.3. Имитация величины, распределенной по показательному закону.

Функция плотности для показательного закона имеет вид:

 

 (y>0)

 

Воспользуемся методом обратной функции, вычислим интеграл и получим уравнение вида

 

 

или

 

 

Тогда  и, прологарифмировав и разрешив уравнение через y, будем иметь:

 

 

Получая значение х с помощью датчика равномерно распределенных на интервале (0,1) случайных чисел, можно получить значения y в соответствии с полученным выражением.

Программа на языке С++ генерации случайного числа, имеющего экспоненциальное распределение, имеет следующий вид:

 

 

Здесь параметр m функции expont есть значение, обратное параметру λ (интенсивности входящего потока, если в программе имитируется поток в системе массового обслуживания).

 

2.2.4. Обработка результатов моделирования.

В процессе имитационного моделирования формируется большое количество реализации, являющихся исходным статистическим материалом для нахождения приближенных значений (оценок) показателей эффективности.

 

2.2.5. Оценка вероятности.

В качестве оценки вероятности используется частота

 

.

 

где    m-число случаев наступления в экспериментах события А,

N-число проведенных экспериментов

Для ее получения обычно организует на программном уровне два счетчика, которые подсчитывают:

-  общее количество экспериментов N,

-  общее количество положительных исходов m.

 

2.2.6. Получение гистограмм исследуемых параметров.

В ряде случаев в качестве характеристики исследуемой системы выступает закон плотности распределения. Его приближенно можно охарактеризовать гистограммой.

Для этого интервал изменения случайной величины разбивается на отрезки Dti, каждому из них сопоставляется счетчик, где накапливаются mi – количество попаданий значений этой величины в Dti.

На основании полученных значений счетчиков для Dti можно построить гистограмму - набор прямоугольников с высотами .

 

2.2.7. Оценка математического ожидания.

Оценку математического ожидания  получают как среднее арифметическое значение случайной величины yi

 

 

Для получения суммы в программных моделях обычно используется переменная, значение которой получает приращение после каждого проведенного испытания.

 

2.2.8. Оценка  дисперсии

Оценку дисперсии можно рассчитать по формуле:

 

 

2.3.Задание.

В работе программным образом имитируются моменты появления автобусов на одной из остановок, находящихся на маршруте движения. Считается, что событие (момент прихода очередного автобуса) происходит в момент, отстоящий от момента прихода предыдущего автобуса на случайную величину, подчиняющуюся закону распределения заданного вида. Полагая момент времени прихода первого автобуса Т1 равным 0, программа-имитатор определяет момент появления очередного автобуса на основе рекуррентного соотношения:

 

Ti+1=Ti+Dti

 

где Dti – случайная величина с заданным законом распределения, представляющая собой интервал между последовательными приходами.

 

2.3.1. Подготовка эксперимента.

Соберите проект С++ в соответствии с указаниями, содержащимися в Приложении (используется модуль 002).

Запустите табличный редактор Microsoft Excel.

 

2.3.2. Детерминированный интервал времени движения.

1. Установите режим запуска с детерминированным интервалом времени движения, сделав значение переменной-переключателя dist равным 1.

2. Задайте величину среднего интервала движения

Tm = <порядковый номер в списке группы>

3. Запустите программу несколько раз c небольшим значением Nexp, получите результаты и ознакомьтесь с трассировочным выводом.

Для дальнейших запусков можно положить Nexp=100.

2.3.3. Равномерно распределенный интервал времени движения.

1. Установите режим запуска с интервалом времени движения, распределенным равномерно задав значение переменной-переключателя dist равным 2.

2. Задайте величину половинного интервала распределения Ts равной

 

Ts = Entire (Tm/5) + 1

 

4. Выполните пробные прогоны программы с небольшим значением числа испытаний, получите результаты и ознакомьтесь с ними.

5. Запустите программу и получите последовательность значений моментов времени прихода. Определите величину дисперсии  интервала движения, для чего воспользуйтесь приложением  Excel – перенесите с помощью буфера системы Windows значения на лист Excel и найдите величину дисперсии с помощью формулы для оценки дисперсии (см. раздел 2.2.8).

 

2.3.4. Экспоненциально распределенный интервал времени движения.

1. Установите режим запуска с интервалом времени движения, распределенным экспоненциально, задав значение переменной-переключателя dist равным 3.

2. Выполните пробные прогоны программы с небольшим значением числа испытаний, получите результаты и ознакомьтесь с ними.

3. Запустите программу и получите последовательность значений моментов времени прихода. Определите величину дисперсии  интервала движения, для чего воспользуйтесь приложением  Excel – перенесите с помощью буфера системы Windows значения на лист Excel и найдите величину дисперсии с помощью формулы для оценки дисперсии (см. раздел 2.2.8).

 

2.3.5. Распределение интервалов времени движения, задаваемое гистограммой.

1. Установите режим запуска с интервалом времени движения, распределенным в соответствии с гистограммой частот появления временных интервалов, задав значение переменной-переключателя dist равным 4.

2. Введите значения частот появления определенных величин интервалов времени между приходами автобусов и значения этих интервалов как начальные значения соответствующих массивов программы.

Исходные данные для составления гистограммы частот в виде замеренных промежутков между двумя последовательными событиями (приходами автобусов на остановку) приводятся в разделе 2.6.1.

3. Выполните пробные прогоны программы с небольшим значением числа испытаний, получите результаты и изучите их.

4. Запустите программу и получите последовательность значений моментов времени прихода. Определите величину дисперсии интервала движения, для чего воспользуйтесь приложением Excel – перенесите с помощью буфера системы Windows значения полученных интервалов на лист Excel и найдите величину дисперсии с помощью формулы для оценки дисперсии (см. раздел 2.2.8).

 

2.3.6. Анализ результатов.

Изучите полученные результаты. Дайте оценку каждому из использованных вариантов.

 

2.3.7. (Дополнительный).

1. Добавьте в программу текст, позволяющий получить гистограмму распределения интервалов движения для 10 временных промежутков.

Произведите запуски программы для случая экспоненциального распределения и постройте гистограмму в табличном и графическом виде.

2. Измените программу таким образом, чтобы время (момент начала движения автобусов) отсчитывалось с определенного момента, задаваемого в виде двух параметров (переменных) для значений часа и минут соответственно, а  результаты (время прихода автобуса на остановку) выводились в виде чч:мм.

Варианты исходных данных приведены в разделе 0.

Номер варианта=<порядковый номер в списке группы >

 

2.4.Отчет по работе.

Отчет по работе должен включать исходные данные и результаты экспериментов с программной моделью и расчетов, проведенных на Excel, по каждому из вариантов.

 

2.5.Контрольные вопросы.

1) На чем основан метод получения псевдослучайного числа равномерно распределенного на произвольном интервале?

2) Какой способ применяется для имитации экспоненциально распределенного случайного числа?

3) Что такое метод обратной функции?

4) В чем состоит сущность имитации случайного числа с произвольным распределением на основе собранной статистики?

5) Как определяется среднее значение исследуемого параметра на основе результатов экспериментов, проведенных на модели?

6) Как определяется дисперсия исследуемого параметра на основе результатов экспериментов, проведенных на модели?

7) Как получить гистограмму распределения значений случайной величины на основе результатов экспериментов, проведенных на модели?

 

2.6.         Варианты работ.

2.6.1. Интервалы между приходами.

 

 

2.6.2. Режим движения.

 

 

3.  Метод статистических испытаний

 

3.1.         Цель работы:

Изучение метода Монте-Карло.

 

3.2.         Теоретические сведения.

3.2.1. Метод статистических испытаний.

Метод статистических испытаний, или метод Монте-Карло [2], представляет собой численный метод, состоящий в получении оценок вероятностных характеристик, совпадающих с решением аналитических задач (например, с решением уравнений и вычислением определенного интеграла). Впоследствии этот метод стал применяться для имитации процессов, происходящих в системах, внутри которых есть источник случайности или которые подвержены случайным воздействиям. Он получил также название метода статистического моделирования. 

В основе метода лежит многократно повторяемый эксперимент на модели физической системы с использованием случайных чисел и дальнейшая статистическая обработка полученных результатов. Распространению метода способствовало появление электронной вычислительной техники с высокой производительностью, которая обеспечивает генерацию с большой скоростью псевдослучайных чисел, необходимых для реализации метода.

Механизм метода можно пояснить на примере вычисления определенного интеграла. Для определения площади под графиком функции Y=F(X):

 

 

что является графической интерпретацией определенного интеграла, можно использовать следующий подход:

-  ограничим функцию прямоугольником, площадь которого   легко вычисляется;

-  внутрь прямоугольника поместим случайным образом N точек, координаты которых будем получать с помощью специальных датчиков (генераторов) случайных чисел;

-  определим число точек N’, которые будут находиться ниже графика функции;

 

Тогда значение интеграла (площадь под графиком функции) определится из выражения:

 

 

Метод Монте-Карло широко применяется в различных областях, имеет ряд разновидностей и  модификаций, зависящих от особенностей решаемых с его помощью задач и повышающих точность и вычислительную эффективность.

 

3.2.2. Имитация событий, составляющих полную группу.

Пусть события , составляют полную группу [4]. Тогда вероятности этих событий Рi  удовлетворяют равенству:

 

 

Имитация факта появления одного из событий Аi (i=1,n) состоит к проверке неравенств:

 

 

Выполнение k-го неравенства эквивалентно наступлению события Аk. Этот алгоритм иногда называют алгоритмом “розыгрыша по жребию”. Его можно интерпретировать как установление номера k-го отрезка длиной Рk, на который пало случайное число х, при условии разбиения отрезка единичной длины на отрезки с длинами P1,P2,...Pn,  [2]:

 

 

Типичным для практики является представление данных наблюдения за какими-либо событиями в виде таблицы, в которой регистрируются частоты наступления этих событий. Если события объединять в группы, поставив в соответствие каждой группе индекс k=1,..., N (k, в частности, может означать номер временного интервала наблюдения, число на игральной кости и т.п.), то таблица вида

 

 

будет представлять собой число зарегистрированных в процессе наблюдения наступлений событий для каждой группы, или таблицу частот. Если поделить значения частот на сумму их значений, то полученные величины можно рассматривать как приближения к вероятностям появления событий каждой группы и использовать для имитации появления событий в моделях.

Программа на языке С++, реализующая алгоритм выбора по жребию, имеет следующий вид:

 

 

Таблица частот задается первыми parts элементами массива nums частот появления и массива vals значений случайной величины.

 

3.2.3. Некоторые формулы теории вероятностей.

Для вычисления теоретических значений вероятностей безотказной работы системы, состоящей из ненадежных элементов, следует использовать следующие выражения теории вероятностей [4].

Вероятность одновременного наступления независимых событий A и B находится как произведение вероятностей наступления каждого события:

 

 

Для полной группы несовместных событий , т.е., событий, для которых

 

 

и

 

 

и некоторого события В справедлива формула полной вероятности:

где  есть условная вероятность наступления события B при условии наступления события .

 

3.3.Задание.

В работе проводится оценивание вероятности безотказной работы технических схем на основе метода статистических испытаний и сравнение результата с результатом, полученным с помощью вероятностной модели.

 

3.3.1. Подготовка инструментария эксперимента.

Соберите проект С++ в соответствии с указаниями, содержащимися в Приложении (используется модуль 001).

Запустите табличный редактор Microsoft Excel.

 

3.3.2. Оценка надежности однофункциональной схемы.

1. Из каталога стандартных компонентов (см. 3.5.1) составьте исследуемую схему. Все компоненты, номера которых указаны в строке с номером варианта в таблице вариантов (см. 3.5.2), соединяются последовательно, один за другим.

Номер варианта=<Порядковый номер в списке группы>

Схема, таким образом, выполняет одну функцию.

Работоспособность всей схемы определяется одновременной работоспособностью всех трех компонентов.

2. Настройте текст раздела исходного СРР-модуля, включив в него:

-   описание констант со значениями безотказной работы отдельных блоков по значениям, приведенным в  3.5.3;

-   условия нахождения системы в работоспособном состоянии при проведении ее проверки

3. Отключите выполнение ненужных разделов программы, установив в разделе “Параметры модели” значения NexpR=0 и NexpE=0.

4. Осуществите пробные прогоны программы с небольшим значением NexpS и изучите трассировочный вывод.

5. Осуществите прогон программы, задав в качестве числа испытаний значение NexpS=100000. Результаты следует занести в Excel-таблицу:

 

 

Чтобы отменить вывод в файл итогов каждого испытания, возьмите в знаки комментария оператор вывода получаемого значения в цикле.

6. Проанализируйте полученные данные.

7. Пользуюсь формулами теории вероятностей (см. раздел 3.2.3), посчитайте точное значение вероятности безотказной работы системы и сравните его со  значением, полученным экспериментальным путем.

 

3.3.3. Оценка надежности многофункциональной схемы.

Выполните все шаги раздела 3.3.2 для случая, когда моделируется схема с тремя функциями (ветвями). Иначе говоря, компоненты образуют три параллельные цепочки таким образом, что при каждом испытании включается одна из трех веток компонентов с вероятностями:

Р1 = 0,2,  Р2 = 0,3,  Р3 = 0,5.

 

3.4.         Контрольные вопросы.

1) В чем заключается идея метода Монте-Карло?

2) Чем достигается статистическая точность метода?

3) Каковы основные достоинства и недостатки метода?

4) Как зависит точность результата, полученного на основе метода статистических испытаний, от числа проведенных испытаний?

5) Как можно повысить вычислительную эффективность (на примере данной работы)?

6) Как имитируются события, образующие полную группу событий?

 

3.5.Варианты исходных данных.

3.5.1. Компоненты моделируемой схемы.

 

 

3.5.2. Варианты соединений компонентов в общую схему.

 

 

3.5.3. Надежность блоков 

 

 

4.    Имитационная модель одноканальной системы массового обслуживания.

 

4.1.         Цель работы:

Изучение:

1) основных возможностей и правил работы конструктора Gem,

2) концепций и основных конструкций моделирующей системы Pilgrim,

3) порядка разработки и запуска программной модели в среде моделирующей системы Pilgrim,

4) интерпретации результатов имитационного моделирования.

 

4.2.Теоретические сведения.

На практике часто требуется провести исследование систем, которые представляются как системы массового обслуживания с неограниченной очередью и одним обслуживающим прибором:

 

 

Наиболее существенными для анализа могут быть показатели типа среднего числа ожидающих в очереди требований, среднего времени ожидания, среднего времени нахождения заявки в системе и другие.

В случае, когда входящий поток (поток заявок) имеет пуассоновское распределение, среднее время ожидания заявок в очереди  в такой системе можно определить по формуле Полачека-Хинчина [5]:

 

 

где   

 - среднее время ожидания в очереди

 - среднее время обслуживания

 -      коэффициент загрузки канала

 -    коэффициент вариации времени обслуживания.

Коэффициент загрузки канала можно найти как

 

 

где   - средний интервал между заявками во входящем потоке.

Коэффициент вариации времени обслуживания определяется как

 

 

где  -среднеквадратическое отклонение времени обслуживания.

С возрастанием загрузки канала  (т.е., чем ближе среднее время обслуживания  к среднему интервалу поступления заявок), как видно формулы, растет время задержки в очереди .

Альтернативным подходом к решению задачи является исследование системы на основе имитационной модели, с помощью которой можно получить результаты для случаев произвольных распределений интервалов между требованиями входящего потока и продолжительности обслуживания заявки в обслуживающем приборе. Такую модель можно построить с помощью специальной моделирующей системы, что ускоряет процесс создания, улучшает характеристики конечного результата  (программной модели) и имеет ряд других достоинств.

В настоящей работе проводится изучение подхода на основе имитационного моделирования с использованием системы Pilgrim [1].

Для задания законов и параметров распределения случайных величин, используемых в моделях настоящей работы, в конструкторе Gem имитационной системе Pilgrim используются параметры со следующими именами и правилами для задания их значений:

 

 

4.3.Содержание работы.

В работе необходимо создать и следовать три программные модели.

Модель 1 –модель СМО с детерминированным интервалом времени между заявками в потоке и детерминированным временем обслуживания. Очевидно, что если время обслуживания и интервал поступления являются детерминированными величинами (то есть не имеют разброса) и время обслуживания меньше интервала между поступлениями, то очередь к обслуживающему прибору образовываться не должна.

Модель 2 –модель СМО с нормальным законом распределения интервала между заявками и нормальным распределением времени обслуживания. Появление случайности должно теперь привести к возникновению очередей.

Модель 3 –модель СМО с пуассоновским входным потоком (экспоненциальным законом распределения интервала между заявками). В случае простейшего потока заявок применима формула Полачека-Хинчина, и среднее за весь период моделирования время ожидания в очереди не будет равно нулю.

Для третьей модели необходимо получить значения показателей моделируемой системы с помощью аналитического выражения.

 

4.3.1. Модель 1.

1) Запустите файл Gem.exe (обычно находится в папке Pilgrim/Gem).

2) В меню Файл выберете пункт Создать и разверните рабочую плоскость на весь экран.

 

 

3) С помощью палитры объектов постройте на рабочей плоскости граф модели:

 

 

Изображения узлов перетаскиваются при нажатой левой кнопке мыши.

Узлы нумеруются автоматически (первая цифра номера означает номер плоскости, так как в системе Pilgrim есть возможность иерархического построения графа моделей). Имена узлов указываются в диалоговых окнах свойств узлов, вход в которые осуществляется с помощью двойного щелчка мыши на изображении узла графа.

Для удаления узла:

- захватите инструмент  левой кнопкой мыши,

- не отпуская кнопку, поместите указатель мыши на удаляемый узел,

- подтвердите необходимость удаления.

 

Для проведения стрелки:

- захватите инструмент  левой кнопкой мыши,

- не отпуская кнопку, поместите указатель мыши на узел-источник стрелки,

- отпустите кнопку, что будет означать привязку начала стрелки к данному узлу,

- поместите указатель мыши на узел-приемник стрелки и щелкните левой кнопкой мыши.

 

Для удаления стрелки:

- войдите в окно описания узла-источника стрелки,

- пометьте мышкой соответствующий Выход из узла,

- нажмите кнопку Удалить.

 

4) Узлы модели:

 

Узел ag представляет собой генератор транзактов имитационной модели. Транзакты в первой модели генерируются по одному через равные промежутки времени, величина которых задается пользователем.

 

 

Параметры узла:

 

 

Таким образом, задается регулярный поток транзактов, следующих один за другим  с постоянным интервалом в 10 временных единиц.

 

Узел Queue моделирует очередь транзактов.

Для данной модели узел настраивать не нужно.

 

Узел Serv – это прибор или сервер, осуществляющий какое-либо обслуживание транзактов в течение модельного времени, отличного от нуля.

 

 

Параметры узла:

 

 

Таким образом, задается регулярный закон обслуживания транзактов в сервере, имеющем один канал обслуживания, со средним значением 5 временных единиц.

 

 

Узел Term представляет собой терминатор транзактов. Он реализует функцию удаления из модели входящего в узел транзакта. Одновременно узел фиксирует время его существования, начиная с момента выхода этого транзакта из генератора. Этот узел можно получить из узла ag после того, как он помещен на плоскость, изменением его свойства Класс со значения AG на значение Terminator. Изменить класс узла можно также и до его помещения на плоскость, нажатием на клавишу под значком узла ag на панели инструментов.

5)  Инициализация модели.

Нажмите кнопку ModBeg под палитрой объектов.

 

 

В строке Название введите имя модели, которое будет указано в таблице результатов моделирования.

В строке Время следует указать длительность периода моделирования – 2000.

В строке ПСЧ указывается начальное значение для генератора псевдослучайных чисел, необходимых для имитации случайных процесов. По умолчанию в качестве начального значения берется показание компьютерного таймера.

Строки Задержка и Поток предназначены для задания номеров контролируемых узлов: очереди (узел Queue) и терминатора (узел Term) соответственно. Для указанных узлов в процессе моделирования будут строиться графики времени задержки в узле типа Queue и динамики выходного потока в узле типа Term. Зададим в строке Задержка номер 102, для получения графика динамики задержек в очереди модели.

6) Задание имени файла-отчета.

Целесообразно указать имя и расширение для файла с отчетом о результатах моделирования, которые выводятся автоматически системой Pilgrim.

Для этого нажмите кнопку ModEnd под палитрой объектов и в открывшемся окне

 

 

введите имя файла.

Рекомендуется указывать расширение txt, что позволит открывать файл для последующего просмотра приложением Notepad по умолчанию.

7) Генерация Pilgrim -программы.

Если сохранение модели в графическом формате было успешно выполнено, нужно в меню Выполнить выбрать пункт Генерировать С++ файл. В указанной пользователем папке будет создан файл Pilgrim -программы с расширением .cpp (имя вводится пользователем).

8)Следуя указаниям

9)Приложение 4

10)           

11)            Создание и запуск модуля Pilgrim- создайте выполняемый модуль программной модели.

12)          Следуя указаниям

13)          Приложение 4

14)           

15)            Создание и запуск модуля Pilgrim- осуществите прогоны программной модели.

16) Изучите полученные результаты.

 

4.3.2. Модель 2.

Повторите все действия раздела 4.3.1 для параметров модели 2, задав их следующим образом:

 

Узел ag

 

 

Таким образом, задается поток транзактов, имеющих нормальный закон распределения со средним значением 10 временных единиц и среднеквадратическим отклонением в 3 временные единицы.

 

Узел serv

 

 

Таким образом, задается нормальный закон обслуживания транзактов со средним значением 9 временных единиц и среднеквадратическим отклонением в 3 временные единицы.

 

4.3.3. Модель 3.

В разделе исследуется модель массового обслуживания с пуассоновским входным потоком и тремя вариантами вида распределения времени обслуживания:

А-  детерминированное

В- экспоненциальное

С- нормальное

 

Необходимо получить результаты с помощью

1) эксперимента с имитационной моделью и

2) теоретических расчетов на основе формулы Хинчина-Полачека.

Результаты должны быть помещены в Excel-таблицу: